To πρωινό ήταν κρύο και η οδός Σεν Μαρτέν σχεδόν έρημη, το Παρίσι δεν είχε ξυπνήσει ακόμη. Οι δυο άντρες, που προχωρούσαν βιαστικά από αντίθετες κατευθύνσεις, έφτασαν σχεδόν ταυτόχρονα στην είσοδο του κτιρίου που θύμιζε παλιό μοναστήρι. Στους χώρους του στεγαζόταν από το 1799 το Εθνικό Μουσείο Τεχνών και Επαγγελμάτων, με απόφαση που είχε πάρει το «Διευθυντήριο», λίγο πριν ανατραπεί από τον Ναπολέοντα. Ο θυρωρός, προφανώς ενημερωμένος από πριν, τους οδήγησε προς το γραφείο του διευθυντή του Μουσείου. Πέρασαν από την «Αίθουσα της Ηχούς», όπου βρισκόταν ολόκληρος σχεδόν ο εξοπλισμός του εργαστηρίου του Λαβουαζιέ. Στάθηκαν για λίγο στο Χορό της παλιάς εκκλησίας του Σαιν Μαρτέν ντε Σαν, όπου βρισκόταν το Εκκρεμές που έφτιαξε ο Φουκώ πριν από ενάμιση αιώνα, για να αποδείξει την περιστροφή της Γης, καθώς και στο χώρο με τα εκθέματα τα σχετικά με την εξέλιξη των θερμικών μηχανών. Στάθηκαν ξανά μπροστά στη μικρογραφία του αγάλματος της Ελευθερίας που βρίσκεται στην είσοδο του λιμανιού της Νέας Υόρκης, την οποία έφτιαξε ο ίδιος ο γλύπτης Μπαρτολντί. Όσες φορές και να έχεις δει αυτά τα εκθέματα, δε γίνεται να τα προσπεράσεις αδιάφορα. Ο νεότερος από τους δυο έριξε μια ματιά γεμάτη σεβασμό και στο άγαλμα του Πασκάλ, που βρισκόταν στην απέναντι πλευρά.

Ο διευθυντής τους καλωσόρισε, παράγγειλε καφέ και έκανε τις συστάσεις. 

-Ο κύριος Ρισάρ, ειδικός γραφολόγος, ο κύριος Ντεγκέτζ, καθηγητής της ιστορίας των Μαθηματικών. Κύριε Ρισάρ, ο καθηγητής είναι ο ειδικός που μου ζητήσατε, ας μπούμε λοιπόν αμέσως στο θέμα.  Όπως σας είπα περιληπτικά και στο τηλέφωνο κύριε καθηγητά, πριν τρεις μέρες λάβαμε ένα συστημένο φάκελο, που περιείχε ένα παλιό χειρόγραφο και ένα ανώνυμο σημείωμα. Ο αποστολέας βεβαίωνε ότι το χειρόγραφο ήταν μια επιστολή του Πασκάλ προς κάποιον άγνωστο παραλήπτη, και ότι το βρήκε στα αρχεία του δημαρχείου κάποιας επαρχιακής πόλης, όπου εργάζεται, δεν έγραφε ποια. Δήλωνε ότι θαυμάζει τον Πασκάλ και μας παραχωρούσε το κειμήλιο για να τοποθετηθεί δίπλα στην αριθμομηχανή του, την «Πασκαλίν», που είναι ένα από τα πιο διακεκριμένα εκθέματά μας. Ήδη εξετάζεται στο εργαστήριό μας η παλαιότητα της επιστολής και ο κύριος Ρισάρ ανάλαβε να εκτιμήσει τη γνησιότητα της από γραφολογική άποψη. Εδώ σας έχω μια φωτοτυπία του σημειώματος και μία της επιστολής.

-Δεν είναι αρκετή η εργαστηριακή εξέταση; Ρώτησε ο καθηγητής παίρνοντας τις φωτοτυπίες.

-Ακόμα και αν πιστοποιηθεί η «ηλικία» του χειρόγραφου, δεν μπορούμε να είμαστε βέβαιοι ότι δεν πρόκειται για μια καλή πλαστογραφία εκείνης της εποχής. Πρέπει να εξαντλήσουμε όλους τους δυνατούς ελέγχους. Θα μας πει λοιπόν ο κύριος Ρισάρ τα συμπεράσματά του και το γιατί χρειάζεται τη βοήθειά σας.

Ο γραφολόγος ξερόβηξε και έβγαλε τρία φύλλα από το χαρτοφύλακά του.

-Η εξέταση της επιστολής, σε αντιπαραβολή με τα δύο γνήσια χειρόγραφα που μου δώσατε, οδηγεί με πολύ μικρά περιθώρια σφάλματος στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για το γραφικό χαρακτήρα του Πασκάλ. Από γραφολογική άποψη λοιπόν έχουμε ή ένα γνήσιο χειρόγραφο ή μια σχεδόν τέλεια απομίμηση, σε βαθμό που να μην μπορεί να αποκαλυφθεί.

-Και τι γίνεται στις περιπτώσεις αυτές; Ρώτησε ο καθηγητής Ντεγκέτζ.

-Προσπαθούμε από άλλα πραγματικά δεδομένα να ανιχνεύσουμε τυχόν στοιχεία απάτης. Θα βοηθούσε λοιπόν πολύ αν γνωρίζαμε ποιος ήταν ο παραλήπτης της επιστολής. Εγώ πρότεινα την εξέτασή της από έναν ειδικό μαθηματικό, γνώστη της εποχής του Πασκάλ, γιατί υπάρχουν ορισμένες μαθηματικές αναφορές στο κείμενο, που ίσως θα μπορούσαν να οδηγήσουν στην ταυτότητα του παραλήπτη. Θα είχαμε τότε ένα ασφαλέστερο συμπέρασμα, πάντα βέβαια σε συνδυασμό και με την εργαστηριακή εξέταση. 

Ο καθηγητής ανακάθισε και πήρε τη φωτοτυπία της επιστολής. 

-Θα κάνω αμέσως μια πρώτη προσπάθεια, το θέμα έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον. Συγχωρείστε με που θα τη διαβάσω φωναχτά, είμαι ακουστικός τύπος.

 Στερέωσε τα γυαλιά του και άρχισε να διαβάζει.

        Χριστούγεννα  1645

Αγαπητέ μου φίλε, εύχομαι ο Θεός να σας χαρίζει πολλά και δημιουργικά χρόνια.

Θα θυμάστε που λέγαμε πριν από καιρό ότι, αφού ο πολλαπλασιασμός ισοδυναμεί με μια σειρά προσθέσεων με ίδιους προσθετέους και η ύψωση σε δύναμη με μια σειρά πολλαπλασιασμών με ίδιους παράγοντες, θα ήταν δυνατό να τελειοποιηθεί η «Πασκαλίν», ώστε να μπορεί να κάνει και αυτές τις πράξεις. Σας ανακοινώνω λοιπόν ότι η Πασκαλίν υπολογίζει πλέον και δυνάμεις ακεραίων! Δεν έχω ακόμα σκεφτεί αν και πώς  θα την αξιοποιήσω. Συνέβη όμως και κάτι άλλο που πρέπει να  μάθετε, σίγουρα θα σας ενδιαφέρει.

 Χθες το μεσημέρι, μόλις τελείωσα την τροποποίηση της «Πασκαλίν», ήρθαν στο εργαστήριο οι τρεις ανιψιοί μου, για τις ασκήσεις της εβδομάδας. Όπως ξέρετε μένουμε στο ίδιο σπίτι και τους βοηθώ στα Μαθηματικά. Τους ανακοίνωσα λοιπόν το νέο και έμεινα λίγο μαζί τους πριν αποσυρθώ στο δωμάτιό μου. Η υγεία μου έχει επιδεινωθεί και χρειάζομαι αρκετή ανάπαυση. Τους εξήγησα πως δουλεύει και ο μικρός Μπλεζ ρώτησε αν θα μπορούσαν να τη δοκιμάσουν. Απάντησα πως ασφαλώς μπορούσαν, αλλά θα έπρεπε να παραβλέψουν μια προσωρινή ατέλεια. Είχε σπάσει το γρανάζι επιλογής του εκθέτη και ήμουν κουρασμένος για να το αντικαταστήσω εκείνη τη στιγμή. Θα δοκίμαζαν λοιπόν με τον ήδη επιλεγμένο εκθέτη, που δεν τον θυμόμουν, αλλά  θα τον έβρισκαν μόνοι τους, ήταν  εύκολο! Τους ζήτησα όμως να τακτοποιήσουν πρώτα το εργαστήριο, να τελειώσουν τις ασκήσεις τους και μετά να δοκιμάσουν  την «Πασκαλίν ΙΙ», όπως την ονόμασαν. Τέλος τους είπα ότι αφού πρώτα θα γευματίζαμε μαζί, μετά θα πήγαινα να ξεκουραστώ και σύντομα θα γύριζα κοντά τους.

Ήμουν εξαντλημένος και μετά το γεύμα κοιμήθηκα αρκετά. Όταν επέστρεψα μου είχαν μιαν έκπληξη. Αρχικά μου περίγραψαν τι έγινε όσο έλειπα. Αφού λοιπόν τακτοποίησαν το εργαστήριο και έκαναν τις ασκήσεις τους, περιεργάστηκαν με προσοχή την «Πασκαλίν ΙΙ». Ο Ζακ αναρωτήθηκε με ποιόν αριθμό να αρχίσουν. Εκείνη τη στιγμή σήμανε ο κούκος του εργαστηρίου και ο Μπλεζ πρότεινε να αρχίσουν με την ώρα αυτή. Τον επιτίμησαν: «Τι φυσικό νόημα μπορούσε να έχει η δύναμη ώρας;» αλλά τελικά συμφώνησαν. Έτσι σύντομα βρήκαν το αποτέλεσμα, όπως και τον εκθέτη. Τότε ο Πιερ, που ήταν και ο «ταμίας» της τριάδας, έκανε την παρατήρηση: «το αποτέλεσμα είναι το άθροισμα των οικονομιών μας!» Και πρότεινε να κάνουν  μιαν ακόμα δοκιμή ο καθένας, με βάση τα σκούδα τους, για να μεγαλώσουν τα μερίδιά τους! Συμφώνησαν, αφού πρώτα παραπονέθηκε ο Μπλεζ, πως πάντα έχει τα λιγότερα. Έκαναν λοιπόν μια δοκιμή ο καθένας, με βάση το μερίδιό του. Τότε ο Ζακ παρατήρησε: «Πριν είχα το  ημιάθροισμα των μεριδίων σας,  τώρα έχω τη διαφορά τους!»

Και τότε ο δαιμόνιος Πιερ, αφού σκέφτηκε λίγο, πρότεινε να σκαρώσουν και εκείνοι ένα πρόβλημα για μένα. Χωρίς λοιπόν να μου αποκαλύψουν κανένα αριθμητικό στοιχείο, με δεδομένα την περιγραφή των δοκιμών και τις παρατηρήσεις των Πιερ και Ζακ, μου έθεσαν το ερώτημα: «Πόσα ήταν τα σκούδα του καθενός μας;»

Δεν ήξερα την ώρα που σήμανε ο κούκος, ούτε θυμόμουν τον εκθέτη. Σκέφτηκα αρκετά, έγραψα λίγες γραμμές σε ένα χαρτί και τους είπα, με σκόπιμα σοβαρό ύφος, ότι μπορεί να βρήκα μία λύση, δεν μπορούσα όμως να πω ότι έλυσα το πρόβλημα! Οι αριθμοί ήταν οι σωστοί και απορούσαν για αυτό που είπα. Αλλά όταν τους εξήγησα τι είναι Θεώρημα και τι είναι Εικασία, κατάλαβαν γιατί η μαθηματική μου συνείδηση δε μου επέτρεπε να ισχυριστώ ότι έλυσα το πρόβλημα. Πολύ αργότερα, αφού πήραμε μαζί το δείπνο, με καληνύχτισαν και ανέβηκαν στο δωμάτιό τους, πλησίαζαν πια μεσάνυχτα.

Και τώρα έρχομαι στο βασικό λόγο για τον οποίο σας γράφω. Ο Πιερ κάποια στιγμή,  με ρώτησε: «Υπάρχει και άλλη δυνατή λύση θείε;» Είμαι βέβαιος ότι εσείς θα βρείτε εύκολα τη λύση που τους έδωσα. Είστε δε ο πιο αρμόδιος να απαντήσει με εγκυρότητα στο ερώτημα του Πιερ, αν βέβαια έχετε προχωρήσει τη σχετική εργασία σας. Σας παρακαλώ λοιπόν να με ενημερώσετε για όποια εξέλιξη υπάρχει στο πολύ σημαντικό αυτό θέμα.

              Σας ασπάζομαι με αγάπη, Μπλεζ  Πασκάλ.

-Αν η επιστολή είναι γνήσια, έχουμε ακόμα μια πολύ ενδιαφέρουσα και άγνωστη ιστορική πληροφορία για τον Πασκάλ και την εξέλιξη της αριθμομηχανής του! Είπε ο καθηγητής, αφού τελείωσε την ανάγνωση.

 Πήρε αμέσως ένα μολύβι και άρχισε να σημειώνει στο περιθώριο της επιστολής. Ο διευθυντής ασυναίσθητα πετάχτηκε όρθιος, αλλά ξανακάθισε χαμογελώντας αμήχανα.

-Συγχωρείστε με, προς στιγμήν ξέχασα πως πρόκειται για  μια φωτοτυπία!

 Ο καθηγητής δεν έδωσε σημασία, γεμάτος έξαψη σκεφτόταν φωναχτά και ταυτόχρονα σημείωνε.

-Έστω  Μ, Ζ και Π τα σκούδα των Μπλεζ, Ζακ και Πιερ, ν ο άγνωστος εκθέτης και ω η ώρα που σήμανε ο κούκος. Όλοι είναι ακέραιοι και Μ<Ζ<Π, αφού ο Μπλεζ είχε τα λιγότερα και ο Ζακ το μέσο όρο. Για να καταλάβουμε το τελευταίο και κρίσιμο ερώτημα, πρέπει να βρούμε αυτούς τους αριθμούς.

-Μα πώς είναι δυνατόν να βρεθούν πέντε αριθμοί, αφού στην επιστολή δεν υπάρχει κανένα αριθμητικό δεδομένο; Ρώτησε με απορία ο γραφολόγος.

-Ο  Πασκάλ τους βρήκε! Εγώ βέβαια δεν είμαι  ο Πασκάλ, αλλά θα προσπαθήσω.

Ο Ζακ είχε αρχικά το μέσο όρο των άλλων δύο, δηλαδή το 1/3 του συνόλου, άρα Ζ=ω^ν/3. Κάθε δύναμη ακεραίου έχει τους ίδιους πρώτους παράγοντες με αυτόν. Άρα, αφού ο ω^ν διαιρείται με το 3 και ο ω θα διαιρείται με το 3. Η ώρα λοιπόν είναι 3 ή 6 ή 9, αφού όλα έγιναν μετά το μεσημέρι και πριν τα μεσάνυχτα.

Μετά την ύψωση στη δύναμη ν το  μερίδιο του Ζακ ήταν η διαφορά των άλλων, άρα  Ζ^ν=Π^ν-Μ^ν, ή Μ^ν+Ζ^ν=Π^ν… αχάαα, τον βρήκαμε τον παραλήπτη! Μη με διακόπτετε, θα σας εξηγήσω αφού ολοκληρώσω! Είναι λοιπόν ν=2, θα σας πω μετά γιατί, άρα Μ²+Ζ²=Π². Αφού οι Μ, Ζ, Π αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα, το άθροισμά τους, ο ω², είναι άρτιος, το ίδιο και ο ω.

Όμως, παρά τη σύστασή του να τον αφήσουν να ολοκληρώσει, ο διευθυντής τον διέκοψε με μια απορία.

-Εννοείτε ότι όλες οι Πυθαγόρειες τριάδες έχουν άρτιο άθροισμα; Πρώτη φορά το ακούω αυτό. Κι εγώ Μαθηματικά έχω σπουδάσει -δεν άσκησα βέβαια ποτέ το επάγγελμα αυτό- και δεν έχω δει πουθενά γραμμένο κάτι τέτοιο.    (Πράγματι, έως και σήμερα -το 1980- η παρατήρηση αυτή δεν έχει βρεθεί σε σχολικά βιβλία)

-Ασφαλώς, ούτε κι εγώ το έχω δει, αλλά αποδεικνύεται εύκολα, προσέξτε. Έστω ότι είναι α² =β²+γ². Αν ο α², οπότε και ο α, είναι άρτιος, τότε οι β και γ είναι και οι δύο ή άρτιοι ή περιττοί, αλλιώς θα είχαν περιττό άθροισμα. Άρα έχουμε ή τρεις άρτιους ή έναν άρτιο και δύο περιττούς, άρα το άθροισμά τους είναι άρτιο.

-Έχετε δίκιο. Αντίστοιχα, αν ο α είναι περιττός, θα είναι οπωσδήποτε περιττός μόνον ο ένας από τους β και γ. Άρα πάλι είναι άρτιο το άθροισμα, δεν το είχα προσέξει ποτέ! 

-Τέλος πάντων, πάμε παρακάτω. Είναι λοιπόν ω=6, αυτός είναι ο μόνος άρτιος. Έχουμε τώρα 3Ζ=ω²=36, άρα Ζ=12. Όσο για τους Π και Μ, έχουν άθροισμα 2x12=24 και διαφορά που μπορεί να βρεθεί από τη διαφορά των τετραγώνων τους, αλλά δε χρειάζεται. Είναι Μ=9 και Π=15, τα μερίδια είναι πολλαπλάσια της πρώτης Πυθαγόρειας τριάδας, της 3, 4 και 5 και αυτή είναι η μοναδική  λύση!

Έβγαλε τα γυαλιά του και γεμάτος ενθουσιασμό είπε:

-Ο αποδέκτης της επιστολής δεν ήταν μαθηματικός, αλλά ο Νομικός Σύμβουλος στο Κοινοβούλιο της Τουλούζης. Μάλλον στα αρχεία του Δημαρχείου της βρέθηκε -αν είναι γνήσια- η επιστολή που εξετάζουμε. Παραλήπτης λοιπόν ήταν ο Πιερ ντε Φερμά, με τον οποίο, το ξέρω καλά αυτό, ο Πασκάλ αλληλογραφούσε τακτικά! Γιατί, ίσως το ξέρετε, αυτός διατύπωσε την Εικασία ότι η Διοφαντική εξίσωση χ^ν+ψ^ν=z ^ν  δεν έχει ακέραιες λύσεις για ν μεγαλύτερο του 2. Να σας πω δυο λόγια για την ιστορία αυτή; Βλέπετε βρεθήκαμε στην καρδιά του δικού μου επιστημονικού αντικειμένου.

-Βέβαια, βέβαια, εδώ που φτάσαμε θα πρέπει να είμαστε ενημερωμένοι σχετικά και μάλιστα σε βάθος! είπε ο διευθυντής με ενθουσιασμό, που έδειχνε να τον συμμερίζεται και ο γραφολόγος.

-Ο Ευκλείδης διατύπωσε αρχικά το πρόβλημα για ν=2 ως εξής: «Ευρείν δύο τετραγώνους αριθμούς, ώστε και το συγκείμενον εξ αυτών είναι τετράγωνον» και δίνει τη γενική λύση στο δέκατο βιβλίο του, στη γεωμετρική γλώσσα των «Στοιχείων». Αμέσως, αμέσως, φυσικά και θα σας εξηγήσω. Η φράση είναι στα Αρχαία Ελληνικά και σημαίνει «Να βρεθούν δυο αριθμοί που είναι τέλεια τετράγωνα, ώστε και το άθροισμά τους να είναι τέλειο τετράγωνο». Και ο Διόφαντος στα «Αριθμητικά» του διαπραγματεύτηκε το ίδιο πρόβλημα, με τη διατύπωση «Τον επιταχθέντα τετράγωνον διελείν εις δύο τετραγώνους», που σημαίνει «Τον δοθέντα τετράγωνο να τον χωρίσεις σε δύο τετράγωνους». Η λύση που δίνει ο Διόφαντος βρίσκεται πιο κοντά στο σύγχρονο αλγεβρικό τρόπο σκέψης. Αυτό το πρόβλημα ήταν η αφορμή να ισχυριστεί ο Φερμά, το 1637, ότι η διοφαντική εξίσωση x^ν+y^ν=z^ν  είναι αδύνατη για ν>2. Μοναδική λύση είναι η 3²+4²=5². Είχε σημειώσει μάλιστα πάνω στο βιβλίο του Διόφαντου που μελετούσε τα εξής: «έχω μια αληθινά θαυμάσια απόδειξη αυτής της πρότασης, αλλά το περιθώριο είναι πολύ στενό για να τη χωρέσει». Προσωπικά πιστεύω ότι είχε κάνει λάθος, δεν ήταν δυνατή η απόδειξη αυτή με τα μαθηματικά εργαλεία εκείνης της εποχής. Πάντως ο ισχυρισμός του αποδείχτηκε το 1994 από τον Άντριου Γουάιλς,  αφού υπήρξε για αιώνες ένα από τα διασημότερα άλυτα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών. Και το ερώτημα του Πασκάλ στην επιστολή προφανώς ήταν αν το έχει αποδείξει, οπότε δε θα χρειαζόταν εμείς να περιμένουμε  350 χρόνια!

Ο διευθυντής, αστράφτοντας από χαρά, σηκώθηκε και έβγαλε από ένα ντουλαπάκι του γραφείου του τρία ποτήρια και ένα μπουκάλι παλιό καλό κονιάκ. Πριν προλάβει όμως να σερβίρει, χτύπησε  το τηλέφωνο.

-Ναι… Πώς; … Είναι απολύτως βέβαιο αυτό; … Κρίμα!

Την προηγούμενη χαρά διαδέχτηκε στο πρόσωπό του μια έκφραση συντριβής.

-Με πήραν από το εργαστήριο. Η επιστολή είναι γραμμένη πολύ πρόσφατα και της έχει γίνει «τεχνητή παλαίωση», όπως γίνεται με τα πλαστά χαρτονομίσματα…

Σωριάστηκε στην πολυθρόνα του και γέμισε τα ποτήρια τους ως επάνω.

Άραγε ποιος ιερόσυλος νους  σκάρωσε αυτήν την ανόσια φάρσα;

Βιογραφικό Σημείωμα

Ο Γιάννης Καρβέλης γεννήθηκε το 1947 στην Καλαμάτα. Σπούδασε στο Ε.Μ.Π. και πήρε δίπλωμα Μηχανολόγου – Ηλεκτρολόγου. Εργάστηκε ως μηχανικός στη Βιομηχανία και στα Δημόσια Έργα και ως καθηγητής στην Τεχνική Εκπαίδευση. Διετέλεσε πάρεδρος με θητεία στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. Συμμετείχε στις συγγραφικές ομάδες των βιβλίων Τεχνικό Σχέδιο (για το Ενιαίο Λύκειο), Στοιχεία Μηχανών και Στοιχεία Σχεδιασμού Κεντρικών Θερμάνσεων (για τα Τεχνικά Επαγγελματικά Εκπαιδευτήρια). Ασχολήθηκε με τη Μαθηματική Λογοτεχνία.

Έργα:

Περί υπεναντίας μεσότητος: Τα αρχεία της λέσχης. Γαβριηλίδης, 2004

Ο κρατούμενος μηδέν. Γαβριηλίδης, 2006 (μεταφράστηκε στα ιταλικά)

Η παραβολή του ασώτου. Γαβριηλίδης, 2010

Έγκλημα στη Σέκτα. Γαβριηλίδης, 2012