1. 1. Στους χώρους διαφόρων κλάδων των Μαθηματικών, ο μαθηματικός βασίζεται στο είδος της έμπνευσης που συνήθως συνδέουμε με τον καλλιτέχνη. Ο τελευταίος αισθάνεται πως έχει ένα θέμα, ή μία φράση που, αν αναπτυχθεί και ποικιλθεί κατάλληλα, δίνει ωραία τέχνη. Η εμπειρία και η γνώση της τέχνης του τον βοηθούν να την αναπτύξει. Παρόμοια, ο μαθηματικός ‘μυρίζεται’ πως έχει ένα συμπέρασμα που προκύπτει από τα αξιώματα. Η εμπειρία και η γνώση μπορούν να οδηγήσουν τη σκέψη του στα κατάλληλα κανάλια. Ακόμη, μπορεί να χρειάζεται να κάνει διάφορες τροποποιήσεις προτού βρει μία σωστή και ικανοποιητική διατύπωση του νέου θεωρήματος. Ουσιαστικά όμως, τόσο ο μαθηματικός όσο και ο καλλιτέχνης οδηγούνται από έναν αληθινά ‘θεϊκό’ οίστρο που τους επιτρέπει να οραματιστούν, να δουν και να γνωρίσουν πώς θα είναι το τελειωμένο οικοδόμημα προτού ακόμα βάλουν την πρώτη πέτρα για να το χτίσουν.

2. Όταν αναζητά μια αποδεικτική μέθοδο,  όπως και όταν προσπαθεί να βρει τι να αποδείξει, ο μαθηματικός πρέπει να χρησιμοποιεί φαντασία, διαίσθηση και δημιουργική ικανότητα. Οφείλει να βλέπει τις πιθανές γραμμές επίθεσης στο θέμα του εκεί που δεν μπορούν να τις δουν οι άλλοι και να έχει το πνευματικό σθένος να παλέψει με ένα πρόβλημα μέχρι να καταφέρει να βρει μία λύση. Τι ακριβώς συμβαίνει μέσα στο μυαλό του, όταν ασχολείται με ένα πρόβλημα, δεν το ξέρουμε περισσότερο από όσο ξέρουμε μέσα από ποιες διεργασίες της σκέψης του κατόρθωσε ο Keats να γράψει την εξαιρετική ποίησή του ή το πώς μπόρεσαν τα χέρια και το μυαλό του Ρέμπραντ να δημιουργήσουν τους πίνακες που φανερώνουν τόσο μεγάλο ψυχικό βάθος. Δεν είμαστε ικανοί να ορίσουμε τη μεγαλοφυΐα, λέμε απλά πως η δημιουργική ικανότητα στα Μαθηματικά απαιτεί διανοητικές και πνευματικές δυνάμεις ασυνήθιστης ποιότητας.

2. 2. Τα τελευταία χρόνια οι μαθηματικοί αναγκάστηκαν να αναγνωρίσουν ξανά κάτι που είχαν αισθανθεί και διακηρύξει οι αρχαίοι Έλληνες, αλλά χάθηκε στους ενδιάμεσους αιώνες: ότι τα Μαθηματικά είναι μία τέχνη και το μαθηματικό έργο πρέπει να ικανοποιεί ορισμένες αισθητικές απαιτήσεις. Αναμφίβολα πολλοί αισθάνονται πως το να συμπεριλάβουμε τα Μαθηματικά ανάμεσα στις Τέχνες καταλήγει υπερβολικό. Η ισχυρότερη αντίρρηση είναι πως αυτά δεν έχουν κανένα συναισθηματικό βάρος. Φυσικά ένα τέτοιο επιχείρημα δεν παίρνει υπόψη του τα αισθήματα συμπάθειας ή αντιπάθειας και αποστροφής που προκαλούν σε ορισμένους ανθρώπους. Επίσης, υποτιμά την ανάταση που αισθάνεται ο μαθηματικός δημιουργός, όταν κατορθώνει να δώσει μορφή στις ιδέες του ή να οικοδομήσει μία έξυπνη και καλοδουλεμένη απόδειξη. Ακόμη και ο άνθρωπος που μαθαίνει τα στοιχειώδη Μαθηματικά, χαίρεται όταν πετυχαίνει να αποδείξει την πιο στερεότυπη άσκηση ή όταν κατορθώνει να δει φως, νόημα και τάξη εκεί που πρώτα υπήρχε σκοτάδι και σύγχυση.

Παρ’ όλα αυτά, είναι αλήθεια ότι γενικά τα Μαθηματικά γοητεύουν τις αισθήσεις λιγότερο από ό,τι η Μουσική, η Ζωγραφική ή η Ποίηση. Και λογικά μπορεί να υποστηρίξει κάποιος πως  πρωταρχική λειτουργία της Τέχνης είναι να προκαλεί συγκίνηση και να ερεθίζει το συναίσθημα. Σύμφωνα με αυτή την αντίληψη της Τέχνης όμως, μία δραματική φωτογραφία που κάνει την καρδιά μας να σφίγγεται θα θεωρούνταν περισσότερο καλλιτεχνική από πολλούς μεγάλους πίνακες. Η αφηρημένη ζωγραφική και μεγάλο μέρος της γλυπτικής θα παραμερίζονταν και πολλές αμφιβολίες θα γεννιόνταν σχετικά με την υπόσταση της αρχιτεκτονικής και της κεραμικής. Οι νεκρές φύσεις του Πικάσο, οι ιμπρεσιονιστικές μελέτες του Μονέ του φωτισμού και της ατμόσφαιρας, το έργο του Σερά και του Σεζάν, οι διευθετήσεις των κυβιστών θα αποτύγχαναν εξίσου να ικανοποιήσουν αυτή την απαίτησή μας. Στην πραγματικότητα η καθαρή τέχνη της σύγχρονης εποχής δίνει έμφαση στη θεωρητική και τυπική πλευρά της ζωγραφικής, στη χρήση της γραμμής της φόρμας και στα διάφορα τεχνικά προβλήματα. Τα έργα της απευθύνονται πολύ περισσότερο στη νόηση παρά στα συναισθήματα. Ενώ τα περισσότερα αναγεννησιακά έργα, παρ’ όλες τις εγκεφαλικές μελέτες που χρησιμοποιήθηκαν για τη σύνθεση τους, αγγίζουν άμεσα το συναίσθημά μας, τα έργα των σύγχρονων καλλιτεχνών πρέπει πρώτα να ‘διαλευκανθούν’. Το αίτημα η Τέχνη να συγκλονίζει συγκινησιακά και συναισθηματικά φαίνεται ιδιαίτερα αναποτελεσματικό σήμερα.

Μια τέχνη πρέπει να δίνει διέξοδο στο δημιουργικό ένστικτο του ανθρώπου. Μία ματιά προς τα πίσω, στην ανάπτυξη του αριθμητικού μας συστήματος, τις βελτιώσεις των υπολογιστικών μεθόδων, την ανακάλυψη και την επέκταση νέων κλάδων εμπνευσμένων από τα προβλήματα των Τεχνών, των Επιστημών και της Φιλοσοφίας και την εκλέπτυνση των κριτηρίων της άψογης σκέψης, μας δείχνει πως οι μαθηματικοί πραγματικά δημιουργούν. Ο ακριβής προσδιορισμός των ισχυρισμών που περιέχονται στα θεωρήματα και οι αποδείξεις με τις οποίες θεμελιώνονται τα τελευταία, είναι πράξεις δημιουργίας. Όπως και στις τέχνες, η κάθε  λεπτομέρεια του τελικού έργου δεν είναι κάτι που ανακαλύπτεται αλλά κάτι που συντίθεται.

Βέβαια, η δημιουργική διαδικασία πρέπει να παράγει ένα έργο που να χαρακτηρίζεται από σχέδιο, αρμονία και ομορφιά, και αυτές οι ποιότητες είναι παρούσες στη μαθηματική δημιουργία. Το σχέδιο συνεπάγεται την παρουσία δομικών μοτίβων, τάξης, συμμετρίας και ισορροπίας. Πολλά μαθηματικά θεωρήματα αποκαλύπτουν ακριβώς ένα τέτοιο σχέδιο, το οποίο δεν είναι απλά συμπτωματικό, παρουσιάζεται αναγκαστικά σε κάθε λογικό οικοδόμημα. Μόνο χάρη στο συνειδητό σχέδιο κατόρθωσε ο Ευκλείδης να παραγάγει ολόκληρη την Ευκλείδεια Γεωμετρία από τα ελάχιστα αξιώματα που διάλεξε στην αρχή. Σε κάθε καλλιτεχνική δημιουργία η σχέση των μερών μεταξύ τους και όλων μαζί με το σύνολο πρέπει να είναι αρμονική. Η αρμονία των μαθηματικών δημιουργημάτων υπάρχει και είναι σε ένα βαθμό νοητική, με τη μορφή της λογικής συνοχής. Τα θεωρήματα οποιουδήποτε μαθηματικού συστήματος πρέπει να βρίσκονται σε απόλυτη συμφωνία μεταξύ τους. Δεν λείπουν όμως και άλλες αρμονίες. Ολόκληρο το οικοδόμημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας βρίσκεται σε αρμονία με τα Μαθηματικά του αριθμού. Με τη βοήθεια των συντεταγμένων είναι δυνατό να ερμηνεύουμε αλγεβρικά τις γεωμετρικές έννοιες και τα θεωρήματα. Αντίστροφα, και οι αλγεβρικές εξισώσεις έχουν δική τους γεωμετρική ερμηνεία. Έτσι οι δύο δημιουργίες είναι αρμονικές μεταξύ τους

Μεγάλα μαθηματικά θέματα μπόρεσαν να εναρμονιστούν το ένα με το άλλο. Οι τέσσερις διαφορετικοί κλάδοι της Γεωμετρίας, Ευκλείδεια, Προβολική και δύο Μη-ευκλείδειες Γεωμετρίες, μας φαίνονται ξεχωριστοί και σε ορισμένες περιπτώσεις αντιφατικοί μεταξύ τους. Παρ’ όλα αυτά, μία από τις πιο ικανοποιητικές συμβολές των πιο πρόσφατων χρόνων έδειξε πως είναι δυνατόν να οικοδομηθεί η Προβολική Γεωμετρία σε μια τέτοια αξιωματικοί βάση, ώστε τα θεωρήματα των τριών άλλων Γεωμετριών να παρουσιάζονται ως εξειδικευμένα θεωρήματα της Προβολικής Γεωμετρίας.  Με άλλα λόγια, τα περιεχόμενα των τεσσάρων Γεωμετριών ενσωματώθηκαν σε ένα αρμονικό όλο. Τα Μαθηματικά προσφέρουν και μια άλλου είδους αρμονία. Το σχέδιο που είτε επιβάλλουν είτε ανακαλύπτουν στη φύση αντικαθιστά την αταξία με την αρμονική τάξη. Αυτή ήταν η ουσιαστική προσφορά του Πτολεμαίου, του Κοπέρνικου, του Νεύτωνα και του Αϊνστάιν. Είναι απόλυτα δυνατό βέβαια μια δημιουργία να κατέχει όλα τα τυπικά χαρακτηριστικά ενός έργου τέχνης, αλλά και πάλι να μην ανήκει σε αυτή την κατηγορία.  Πολλοί ακούγοντας τη σύγχρονη μουσική ή παρατηρώντας τις νεότερες ζωγραφικές τεχνοτροπίες υποστηρίζουν ότι το ίδιο ισχύει ακόμα και για την τέχνη που παράγεται στις μέρες μας. Το υπέρτατο κριτήριο ενός έργου τέχνης είναι η αισθητική απόλαυση, η ομορφιά που προσφέρει. Ευτυχώς ή δυστυχώς αυτό είναι ένα υποκειμενικό κριτήριο και βασίζεται στο ένα ή στο άλλο γούστο που έχει καλλιεργηθεί. Άρα το ζήτημα τού κατά πόσο κατέχουν τα Μαθηματικά την ομορφιά μπορεί να απαντηθεί μόνο από κείνους που μπόρεσαν να εμβαθύνουν στο ζήτημα ή να ερευνήσουν σήμερα τον ανθρώπινο εγκέφαλο.

3. 3. Δεν είναι λάθος αν υποστηρίζαμε πως η αναζήτηση της αισθητικής απόλαυσης πάντοτε επηρέαζε και ενθάρρυνε την εξέλιξη των Μαθηματικών. Ανάμεσα στο πλήθος των θεμάτων και των σχεδίων που παρουσιάζονται μπροστά του, ο μαθηματικός διαλέγει εκείνα που ικανοποιούν μια συνειδητή ή ασυνείδητη αίσθηση του ωραίου που ο ίδιος κατέχει. Οι Έλληνες της κλασικής περιόδου εξερεύνησαν τη Γεωμετρία επειδή οι μορφές και η λογική δομή της τους φαίνονταν ωραίες. Θεωρούσαν πολύτιμη την ανακάλυψη των γεωμετρικών σχέσεων στη φύση όχι για τον λόγο ότι θα τους βοηθούσαν αυτές να κυριαρχήσουν στο περιβάλλον τους, αλλά γιατί έφερναν στο φως την ομορφιά των δομών του φυσικού κόσμου. Ο Κοπέρνικος πρότεινε μία νέα αντίληψη των πλανητικών κινήσεων επειδή τα Μαθηματικά της θεωρίας του προσέφεραν αισθητική απόλαυση. Ο Kepler εκτιμούσε την ηλιοκεντρική θεωρία για τον ίδιο λόγο: έχω βεβαιωθεί για την αλήθεια της ως τα τρίσβαθα της ψυχής μου, έλεγε, και διαλογίζομαι την ομορφιά της με απίστευτη και ξέφρενη χαρά. Έχοντας εμπνευστεί από το έργο του Κοπέρνικου ο Kepler πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του αναζητώντας αισθητικά ικανοποιητικούς μαθηματικούς νόμους. Αλλά και ο Νεύτωνας ενδιαφερόταν ειλικρινά να έχει το επιστημονικό και μαθηματικό έργο του την ομορφιά ως υπέρτατη επικύρωση. Μιλούσε για τον Θεό που ενδιαφέρεται για την αιώνια συμπαντική αρμονία και ομορφιά. Παρόμοιες παρατηρήσεις και απόψεις μπορούμε να βρούμε στα γραπτά των περισσότερων μαθηματικών.

Η αισθητική αντίληψη του αληθινού μαθηματικού είναι πολύ απαιτητική. Μεγάλο μέρος της έρευνας για νέες λύσεις θεωρημάτων που έχουν ήδη αποδειχθεί γίνεται απλά και μόνο επειδή οι αποδείξεις που υπάρχουν δεν είναι καλαίσθητες. Υπάρχουν μαθηματικοί συλλογισμοί που είναι απλά πειστικοί -για να χρησιμοποιήσουμε μία φράση του μαθηματικού φυσικού Ράλεϊ «αποσπούν τη συγκατάνευση». Υπάρχουν όμως και άλλοι που «θέλγουν και γοητεύουν το πνεύμα, γεννούν την απόλαυση και την καταλυτική επιθυμία να πει κάποιος Αμήν». Μία κομψή απόδειξη είναι ένα ποίημα σε όλα της, εκτός από τη μορφή στην οποία είναι γραμμένη. Η καθήλωση στο μαθηματικό πρόβλημα, η βασανιστική επιδίωξη της λύσης, των συλλογισμών και των εννοιών του, η απορρόφηση στον κόσμο του νου, έχουν να προσφέρουν την ειρήνη του πνεύματος ανάμεσα στις άπειρες προκλήσεις, την ανάπαυση στη δράση, τη μάχη δίχως τη σύγκρουση, ένα καταφύγιο από την αποπνικτική επιτακτικότητα των τυχαίων γεγονότων, και ακόμη μία ομορφιά σαν και εκείνη που τα αιώνια ανάλλαχτα βουνά παρουσιάζουν στις ανθρώπινες αισθήσεις που δοκιμάζονται από το καλειδοσκόπιο της καθημερινότητας.

Τη γοητεία της αποστασιοποίησης και της αντικειμενικότητας των μαθηματικών συλλογισμών περιγράφει έξοχα ο Ράσελ: μακριά από τα ανθρώπινα πάθη, μακριά ακόμη και από τα θλιβερά γεγονότα της φύσης, γενεές επί γενεών δημιούργησαν βαθμιαία ένα κόσμο με τάξη, όπου η καθαρή σκέψη μπορεί να κατοικήσει σαν στο φυσικό της σπίτι και όπου μία τουλάχιστον από τις ευγενικότερες ορμές μας μπορεί να δραπετεύσει από την καταθλιπτική εξορία του πραγματικού μας κόσμου. Ακόμη και οι πιο απλοί άνθρωποι έχουν πεισθεί για τον καλλιτεχνικό χαρακτήρα των μαθηματικών έργων. Ο Thoreau λέει: οι πιο ξεχωριστές και όμορφες διατυπώσεις κάθε αλήθειας πρέπει να πάρουν τελικά τη μαθηματική μορφή. Αν δεν εντυπωσιάζεται ούτε από αυτό ο αναγνώστης μπορεί τουλάχιστον να βρει λίγο περισσότερο κατανοήσιμες τώρα τις στάσεις και τις προσπάθειες των μαθηματικών γνωρίζοντας ότι αυτοί οι άνθρωποι αναζητούν την ομορφιά.

Μπορεί να πει κάποιος ότι από την ανάλυση φαίνεται πως τα τυπικά κριτήρια της τέχνης ικανοποιούνται από τα Μαθηματικά, όμως πολλοί αρνούνται να τους αναγνωρίσουν αυτή την υπόσταση. Ασυνείδητα όμως την αναγνωρίζουν. Κανένας δεν μιλάει για τάλαντο, για χάρισμα, για παράδειγμα, στην Ιστορία, στην Οικονομία κτλ. Όμως καθένας πιστεύει πως υπάρχουν το τάλαντο και η ιδιοφυία στα Μαθηματικά, έστω και όταν απλά θρηνεί για την έλλειψή τους. Άρα η μαθηματική ικανότητα τοποθετείται στο ίδιο επίπεδο με την καλλιτεχνική ικανότητα. Όταν σκεφτόμαστε πόσα πεδία επηρεάζουν τα Μαθηματικά και σε πόσα από αυτά μας έχουν βοηθήσει να κυριαρχήσουμε απόλυτα ή μερικά, μπαίνουμε στον πειρασμό να τα θεωρήσουμε ως μέθοδο προσέγγισης στο σύμπαν της φυσικής, νοητικής, πνευματικής και συναισθηματικής εμπειρίας. Είναι το αγνότερο, το πιο καθαρό απόσταγμα που η ακριβής σκέψη κατόρθωσε να διυλίσει από όλες τις προσπάθειες του ανθρώπου να κατανοήσει τη φύση, να βάλει τάξη στη σύγχυση των γεγονότων του κόσμου, να δημιουργήσει την ομορφιά και να ικανοποιήσει τη φυσική ροπή του υγιούς νου προς την άσκηση. Εμείς που ζούμε σε ένα πολιτισμό, ο οποίος ξεχωρίζει πρώτα από όλα για τα επιτεύγματά του που οφείλονται στα Μαθηματικά, μπορούμε να καταθέσουμε τη μαρτυρία μας για αυτές τις απόψεις.

Πηγές Πληροφορίας

• Kline, M. (1964). Mathematics in Western Culture. Oxford University Press.

• Kline, M. (1985). Mathematics for Liberal Arts. Dover Publications.

·        Zeki, S. (2002). Εσωτερική Όραση: μια εξερεύνηση της τέχνης και του εγκεφάλου. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

• Semir Zeki, John Paul Romaya, Dionigi M. T. Benincasa and Michael F. Atiyah. The experience of mathematical beauty and its neural correlates. Frontiers in Human Neuroscience, 13 February 2014.

• Semir Zeki, Oliver Y. Chénand John Paul Romaya. The Biological Basis of Mathematical Beauty. Frontiers in Human Neuroscience, 30 November 2018.