1. Εισαγωγικά

Η προσφυγή στην έννοια του ‘στυλ’ θεωρείται δανεισμένη από την Τέχνη, όπου επινοήθηκε για να ταξινομήσει τα πολιτιστικά πρότυπα που παρατηρήθηκαν στη μελέτη των καλών τεχνών. Στη συνέχεια υπήρξε μεταφορά αυτής της έννοιας του στυλ στην Ιστορία της Επιστήμης και των Μαθηματικών. Όμως συναντάμε τέτοιες αναφορές για στιλιστικά χαρακτηριστικά στα Μαθηματικά ήδη στις αρχές του 17^ου αιώνα. Ο Bonaventura Cavalieri, για παράδειγμα, ήδη από το 1635 αντιπαραβάλλει τις τεχνικές του με το Αρχιμήδειο στυλ: «Γνωρίζω στην πραγματικότητα ότι όλα τα θεωρήματα που αναφέρθηκαν παραπάνω μπορούν να αναχθούν σε Αρχιμήδειο στυλ». Είναι ενδιαφέρον λοιπόν το γεγονός ότι τέτοια περιστατικά προηγούνται της γενικευμένης χρήσης της έννοιας του στυλ στην Τέχνη, η οποία χρονολογείται μόνο από τη δεκαετία του 1660. Συνεπάγεται ότι η αρχική εντύπωση για μεταφορά της έννοιας του στυλ από την Τέχνη στην Επιστήμη και τα Μαθηματικά είναι λανθασμένη και ότι τους επιστήμονες και τους μαθηματικούς τους απασχολούσε πρωτογενώς η αισθητική και το στυλ. Άλλωστε τα Μαθηματικά συνιστούν αφήγηση, στην οποία το στυλ είναι εγγενές. Από τα πολλά που λέγονται για το θέμα αυτό, στο παρόν κείμενο περιοριζόμαστε στη σχέση Επιστημολογίας και στυλ και στις προτεινόμενες θέσεις γι’ αυτή.

1. Ποιο Είναι το Πρόβλημα

Το πρόβλημα της Επιστημολογίας του στυλ τίθεται ως εξής: Είναι τα στιλιστικά στοιχεία που υπάρχουν στον μαθηματικό λόγο άνευ γνωστικής αξίας και επομένως μέρος μόνο του χρωματισμού του μαθηματικού λόγου ή μπορούν να θεωρηθούν πιο στενά συνδεμένα με το γνωστικό του περιεχόμενο; Η έννοια του χρωματισμού προέρχεται από τον Frege, ο οποίος διακρίνει μεταξύ της αληθινής συνθήκης μιας δήλωσης και εκείνων των πτυχών της δήλωσης που μπορεί να παρέχουν πληροφορία σχετικά με την κατάσταση του νου του ομιλητή ή του ακροατή, αλλά δεν συμβάλλουν στις συνθήκες αλήθειας της.

2. Θέσεις Σχετικά με το Πρόβλημα

(i) Στη φυσική γλώσσα, τυπικά στοιχεία του χρωματισμού είναι, για παράδειγμα,  εκφράσεις λύπης όπως ‘δυστυχώς’. Η πρόταση «Δυστυχώς, χιονίζει» έχει τις ίδιες συνθήκες αλήθειας με το «χιονίζει», ενώ το «δυστυχώς» είναι μόνο μέρος του χρωματισμού της. Οι Jacques και Monique Dubucs έχουν γενικεύσει αυτή τη διάκριση στις μαθηματικές αποδείξεις όπου ασχολούνται με το πρόβλημα μιας ‘ρητορικής των Μαθηματικών’, πρόβλημα που είναι πολύ κοντά σε αυτό της ανάλυσης του στυλ. Ονομάζοντας την  παραδοσιακή ρητορική ως ‘υπολειμματική’, επειδή λαμβάνει υπόψη μόνο φαινόμενα μη γνωστικής σημασίας, όπως στολίδι του μαθηματικού κειμένου, αλλά αφήνει ανέπαφο το αντικείμενο, όπως το περιεχόμενο μιας απόδειξης, διερεύνησαν τις επιλογές για μια πιο φιλόδοξη ‘ρητορική των Μαθηματικών’. Έτσι μπορεί κάποιος να αρχίσει να αρθρώνει την πρώτη θέση σε σχέση με την επιστημολογική σημασία του στυλ. Είναι μια θέση που αρνείται το στυλ κάθε ουσιαστικού γνωστικού ρόλου και το μειώνει σε φαινόμενο υποκειμενικού γλωσσικού χρωματισμού. Σύμφωνα με αυτή τη θέση, οι στιλιστικές παραλλαγές αποκαλύπτουν μόνο επιφανειακές διαφορές έκφρασης, οι οποίες αφήνουν ανέπαφο το περιεχόμενο του λόγου.

(ii) Η δεύτερη θέση σχετικά με το γνωστικό περιεχόμενο του στυλ φαίνεται να είναι συμβατή με μια μορφή πλατωνισμού/ ρεαλισμού στα Μαθηματικά.

(iii) Η τρίτη θέση είναι σίγουρα αντίθετη στην προηγούμενη.

Οι δυο τελευταίες θέσεις είναι οι δύο κύριες προτάσεις που διατίθενται στη βιβλιογραφία, δηλαδή αυτές των Granger και Hacking, οι οποίες παρουσιάζονται εδώ εν συντομία.

3. Η Θέση του Granger

Το δοκίμιο του Granger για μια φιλοσοφία του στυλ είναι η πιο συστηματική και επιμελημένη προσπάθεια για την ανάπτυξη μιας θεωρίας του στυλ για τα Μαθηματικά. Το πρόγραμμα του Granger είναι τόσο φιλόδοξο και πλούσιο που μια διεξοδική συζήτηση για τη δομή του και των λεπτομερών αναλύσεών του χρειάζεται ένα δοκίμιο από μόνο του. Αλλά στόχος εδώ είναι να δώσουμε μια απλή ιδέα από τι αποτελείται το έργο και να δείξουμε ότι ο επιστημολογικός ρόλος του στυλ που υπερασπίζεται ο Ganger είναι συμβατός με έναν ρεαλισμό σχετικά με μαθηματικές οντότητες ή δομές.

Στόχος του Granger είναι να παρέχει μια ανάλυση της ‘επιστημονικής πρακτικής’. Ορίζει την πρακτική ως «μια δραστηριότητα που θεωρείται μαζί με το περίπλοκο πλαίσιό της, και ιδίως τις κοινωνικές συνθήκες που της δίνουν νόημα σε έναν κόσμο που βιώνεται αποτελεσματικά». Ορίζει την Επιστήμη ως «κατασκευή αφηρημένων μοντέλων, συνεπών και αποτελεσματικών, για τα φαινόμενα». Έτσι, η επιστημονική πρακτική έχει τόσο ‘καθολικές’/ ‘γενικές’ συνιστώσες όσο και ‘μεμονωμένες’. Η ανάλυση της επιστημονικής πρακτικής απαιτεί τουλάχιστον τρεις τύπους ερευνών:

(1) Υπάρχουν πολλοί τρόποι δόμησης, μέσω μοντέλων, ενός συγκεκριμένου φαινομένου˙ και τα ίδια μοντέλα μπορούν να εφαρμοστούν σε διαφορετικά φαινόμενα. Επιπλέον, οι επιστημονικές κατασκευές, συμπεριλαμβανομένων και αυτών των Μαθηματικών, αποκαλύπτουν μια συγκεκριμένη ‘δομική ενότητα’. Και οι δύο αυτές πτυχές είναι το θέμα μιας στιλιστικής ανάλυσης.

(2) Η δεύτερη έρευνα αφορά μια ‘επιστημονική χαρακτηρολογία’, που στοχεύει στη μελέτη των ψυχολογικών στοιχείων που σχετίζονται με την εξατομίκευση της επιστημονικής πρακτικής.

(3) Η τρίτη έρευνα αφορά τη μελέτη του ‘απροσδόκητου’ της επιστημονικής δημιουργίας, που βρίσκεται πάντα στον χώρο και στον χρόνο.

Και οι τρεις πτυχές είναι απαραίτητες για την ανάλυση της ‘επιστημονικής πρακτικής’, αλλά στο βιβλίο του ο Granger εστιάζει μόνο στο (1). Από πού έρχονται το στυλ και τα Μαθηματικά; Τα Μαθηματικά έρχονται ως ένας από τους τομείς της έρευνας που μπορούν να υποβληθούν σε μια στιλιστική ανάλυση της Επιστήμης (το βιβλίο του Granger παρέχει εφαρμογές όχι μόνο στα Μαθηματικά αλλά και στη Γλωσσολογία και τις Κοινωνικές Επιστήμες). Τι γίνεται με το στυλ; Κάθε κοινωνική πρακτική, σύμφωνα με τον Granger, μπορεί να μελετηθεί από την άποψη του στυλ.

Αυτό περιλαμβάνει πολιτική δράση, καλλιτεχνική δημιουργία και επιστημονική δραστηριότητα. Υπάρχει, επομένως, μια γενική θεωρία στυλ που προσπαθεί να συλλάβει τα πιο γενικά στιλιστικά χαρακτηριστικά τέτοιων δραστηριοτήτων και, στη συνέχεια, πιο ‘τοπικές’ στιλιστικές αναλύσεις, όπως αυτή που παρέσχε ο Granger για επιστημονικές δραστηριότητες. Προφανώς, η έννοια του στυλ που επικαλέστηκε εδώ πρέπει να είναι πολύ ευρύτερη από αυτή που συνήθως σχετίζεται με αυτόν τον όρο και μάλιστα εκείνη που εφαρμόζεται σε τομείς όπως η πολιτική ή η επιστημονική δραστηριότητα όχι μόνο μεταφορικά αλλά μάλλον με ‘μετουσίωση’ σε τέτοιες δραστηριότητες. Η ανάλυση του μαθηματικού στυλ του Granger περιλαμβάνει το ευκλείδειο στιλ και την έννοια του μεγέθους˙ την αντίθεση μεταξύ του «Καρτεσιανού στιλ και του Desarguian style». Τέλος, τη «γέννηση του διανυσματικού στυλ». Όλες αυτές οι αναλύσεις επικεντρώνονται στην έννοια του ‘γεωμετρικού μεγέθους’.

 Στυλ, σύμφωνα με τον Granger, είναι ένας τρόπος επιβολής δομής σε μια εμπειρία. Η εμπειρία πρέπει να θεωρηθεί εδώ ότι υπερβαίνει την οικεία πρακτική εμπειρία. Σε γενικές γραμμές, το είδος της εμπειρίας στην οποία προσφεύγει ο μαθηματικός δεν είναι πρακτική/ εξωτερική, αλλά εσωτερική. Από αυτή την εμπειρία προέρχονται τα ‘διαισθητικά’ στοιχεία που είναι δομημένα στη μαθηματική δραστηριότητα. Αλλά δεν πρέπει να θεωρούμε ότι υπάρχει μια ‘διαίσθηση’ στην οποία, καθώς ήταν εξωτερική, εφαρμόζουμε μια φόρμα. Η μαθηματική δραστηριότητα δημιουργεί ταυτόχρονα και τη μορφή και το περιεχόμενο στο πλαίσιο μιας συγκεκριμένης εμπειρίας. Το στυλ μας φαίνεται αφενός ως τρόπος εισαγωγής των εννοιών μιας θεωρίας, της σύνδεσης τους, της ενοποίησής τους˙ και από την άλλη πλευρά, ως τρόπος οριοθέτησης τού σε τι συμβάλλει η διαίσθηση στον προσδιορισμό αυτών των εννοιών.

 Μπορούμε να έχουμε καλή αίσθηση για το τι λέει ο Granger κοιτάζοντας απλά ένα παράδειγμα, που περιγράφει στον πρόλογό του, σχετικά με τους μιγαδικούς αριθμούς. Ο Granger δίνει τρεις τρόπους εισαγωγής των μιγαδικών αριθμών. Και οι τρεις τρόποι αντιπροσωπεύουν τις δομικές ιδιότητες που χαρακτηρίζουν την εν λόγω αλγεβρική δομή.

(i) Ο πρώτος τρόπος εισάγει τους μιγαδικούς αριθμούς με τριγωνομετρική αναπαράσταση χρησιμοποιώντας γωνίες και κατευθύνσεις. Στην περίπτωση αυτή, κάποιος ορίζει έναν μιγαδικό αριθμό ως ζεύγος πραγματικών αριθμών και οι προσθετικές ιδιότητες είναι τότε άμεσες.

(ii) Ο δεύτερος τρόπος τους εισάγει ως τελεστές που εφαρμόζονται σε διανύσματα. Αντιθέτως, στην περίπτωση αυτή, είναι οι πολλαπλασιαστικές ιδιότητες που γίνονται αμέσως αντιληπτές.

(iii) Ο τρίτος τρόπος, εισάγει τους μιγαδικούς αριθμούς με κανονικούς τετραγωνικούς πίνακες. Αυτό οδηγεί στο να βλέπουμε τους μιγαδικούς αριθμούς ως σύστημα πολυωνύμων [ως προς x modulo x²+1].

 Αυτοί οι διαφορετικοί τρόποι σύλληψης μιας έννοιας, ενσωμάτωσής της σε ένα λειτουργικό σύστημα και συσχέτισης με αυτήν κάποιων διαισθητικών συμπερασμάτων -που κάποιος πρέπει να οριοθετήσει την ακριβή έκτασή τους- αποτελούν αυτό που ονομάζουμε πτυχές του στυλ. Είναι προφανές ότι το δομικό περιεχόμενο της έννοιας δεν επηρεάζεται, ότι η έννοια του μαθηματικού αντικείμενου υφίσταται ταυτόσημα μέσω αυτών των εντυπώσεων του στυλ. Ωστόσο, δεν είναι πάντα έτσι και συναντάμε στιλιστικές θέσεις που απαιτούν πραγματικές εννοιολογικές παραλλαγές. Αυτό που αλλάζει πάντα, σε κάθε περίπτωση, είναι ο προσανατολισμός της έννοιας προς αυτήν ή εκείνη τη χρήση, αυτήν ή εκείνη την επέκταση. Έτσι, το στυλ παίζει ένα ρόλο που είναι ίσως απαραίτητος τόσο σε σχέση με τη διαλεκτική της εσωτερικής ανάπτυξης των Μαθηματικών όσο και με τη σχέση του με κόσμους πιο συγκεκριμένων αντικειμένων στις εφαρμογές.

 Έτσι, στη θεωρία του Granger τα μαθηματικά στυλ είναι τρόποι παρουσίασης ή τρόποι σύλληψης των μαθηματικών δομών. Τουλάχιστον σε ορισμένες περιπτώσεις, αυτά τα εφέ του στυλ αφήνουν τα μαθηματικά αντικείμενα ή τις δομές ανεπηρέαστα, αν και επηρεάζουν τη γνωστική λειτουργία στην οποία συλλαμβάνονται, επηρεάζοντας επομένως τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να υποβληθούν σε επέκταση, να εφαρμοστούν σε διάφορες περιοχές, να χρησιμοποιηθούν κλπ. Ακόμα και αν ο Granger μπορεί να συμπαθεί τον Καντιανισμό χωρίς υπερβατικότητα, και έτσι να θεωρεί το στυλ ως δομικό συστατικό, φαίνεται ότι η θέση του είναι τουλάχιστον συμβατή με μια μορφή πλατωνισμού/ ρεαλισμού για τις μαθηματικές οντότητες. Αυτό δεν φαίνεται να ισχύει για την τρίτη και τελευταία επιστημολογική θέση που συζητάμε, η οποία οφείλεται στον Ian Hacking.

4. Η Θέση του Hacking

Ο Hacking προτείνει τη διερεύνηση της έννοιας του στυλ ως «νέου αναλυτικού εργαλείου» για την Ιστορία και Φιλοσοφία της Επιστήμης. Η προτίμησή του είναι να μιλά για ‘στυλ συλλογιστικής’ σε αντίθεση με τα ‘στυλ σκέψης’.  Η πιο πρόσφατη προτίμησή του είναι να μιλά για «Στυλ επιστημονικής σκέψης και πράξης». Ο λόγος είναι ότι ο Hacking θέλει να απομακρυνθεί από το ψυχολογικό επίπεδο της συλλογιστικής και να εργαστεί με το πιο ‘αντικειμενικό’ επίπεδο επιχειρημάτων. Ορίζει ρητά το έργο του ως συνέχεια του έργου του Kant με σκοπό να εξηγήσει πώς είναι δυνατή η αντικειμενικότητα. Και πράγματι, η θέση του Hacking απορρίπτει τον ρεαλισμό και αγκαλιάζει έναν έντονα συστατικό ρόλο για το στυλ. Σύμφωνα με τον Hacking, τα στυλ ορίζονται από ένα σύνολο απαραίτητων συνθηκών, δεν προσπαθεί, πάντως, να παρέχει επαρκείς συνθήκες:

Δεν υπάρχουν προτάσεις που να είναι υποψήφιες για αλήθεια, ούτε ανεξάρτητα αναγνωρισμένα αντικείμενα που να είναι σωστά, πριν από την ανάπτυξη ενός στυλ συλλογιστικής. Κάθε στυλ συλλογιστικής εισάγει πάρα πολλές καινοτομίες, συμπεριλαμβανομένων νέων τύπων για: αντικείμενα, αποδείξεις, προτάσεις, νέους τρόπους υποψηφιότητας για αλήθεια ή ψεύδος, νόμους, τρόπους, δυνατότητες, καθώς επίσης νέους τύπους ταξινόμησης και εξηγήσεων.

 Αυτή η έννοια του στυλ, όπως και του Granger, αποδίδει πολύ σημαντικό ρόλο στο στυλ ως θεμελίωση της αντικειμενικότητας μιας ολόκληρης περιοχής επιστημονικής δραστηριότητας, αλλά, σε αντίθεση με τον Granger, δεσμεύεται οντολογικά σε απόρριψη του ρεαλισμού. Τα στυλ είναι απαραίτητα για τη συγκρότηση μαθηματικών αντικειμένων και τα τελευταία δεν έχουν μορφή ύπαρξης ανεξάρτητη από αυτά. Ο Hacking δεν έχει συζητήσει εκτενώς περιπτωσιολογικές μελέτες από την Ιστορία των Μαθηματικών, αν και ένα από τα δοκίμιά του (Hacking 1995) ασχολείται με τέσσερις ‘κατασκευαστικές’ εικόνες των Μαθηματικών και δείχνει πόσο καλά ταιριάζουν με την εικόνα των ‘στυλ σκέψης’. Είναι επίσης σαφές ότι πιο έντονες ρεαλιστικές θέσεις δεν ταιριάζουν με τα στυλ συλλογιστικής του Hacking.  

Έτσι, εξετάστηκαν τρία πιθανά μοντέλα για την εξήγηση του επιστημολογικού ρόλου των ‘στυλ’ στα Μαθηματικά. Υπάρχουν σίγουρα πολλές περισσότερες πιθανές θέσεις να αρθρωθούν, αλλά μέχρι στιγμής αυτά είναι μόνο όσα μπορούν να βρεθούν στη βιβλιογραφία.

5. Συμπέρασμα

Το θέμα του μαθηματικού στυλ δεν είναι ένας από τους συνήθεις τομείς έρευνας στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών. Πράγματι, τέτοιες καταχωρήσεις συνιστούν προσπάθεια να συμπεριληφθούν σε ένα κείμενο κάποιες από τις πολυάριθμες συνεισφορές σε αυτό το θέμα. Παρ’ όλα αυτά, πρέπει τώρα να είναι σαφές ότι ο προβληματισμός για το μαθηματικό στυλ υπάρχει στη σύγχρονη φιλοσοφική δραστηριότητα και αξίζει να ληφθεί σοβαρά υπόψη. Αλλά το έργο μόλις ξεκίνησε. Κάποιος χρειάζεται πολλές περισσότερες περιπτωσιολογικές μελέτες μαθηματικών στυλ και σαφέστερη άρθρωση των επιστημολογικών και οντολογικών συνεπειών που προκύπτουν από διαφορετικές αντιλήψεις του στυλ. Επιπλέον, θέλουμε να δούμε μια καλύτερη ενσωμάτωση όλων αυτών των εργασιών στο έργο για τα γνωστικά στυλ που βρίσκεται στη Γνωστική Ψυχολογία και τη Μαθηματική Εκπαίδευση. Τέλος, πρέπει επίσης να αντιμετωπιστούν τα τυπικά φιλοσοφικά θέματα, όπως η σχέση της μορφής και του περιεχομένου με το στυλ, και η σχέση του στυλ με την κανονικότητα και τη σκοπιμότητα.

Πηγές Πληροφορίας

• Dubucs, J. and Dubucs, M., 1994, “La couleur des preuves”, in V. de Coorebyter, (ed.), Structures rhétorique en science, Paris: PUF, pp. 231–249.

• Granger, G.G., 1968, Essai d’une philosophie du style, Paris: Armand Colin, reprinted with corrections by Paris: Odile Jacob.

• –––, 2003, “Le style mathématique de l’Académie platonicienne”, in G. G. Granger, Philosophie, Langage, Science, Les Ulis: EDP Science, pp. 267–294.

• Hacking, I., 1992, “‘Style’ for historians and philosophers”, Studies in History and Philosophy of Science, 23: 1–20.

• –––, 1996, “The disunities of science”, in P. Galison and D. Stump, The Disunity of Science: Boundaries, Context and Power, Stanford: Stanford University Press, pp. 37–74.

• –––, 2002, Historical Ontology, Cambridge, MA: Harvard University Press.

• –––, 2012, “‘Language, Truth, and Reason’ 30 years later”, Studies in History and Philosophy of Science, 43: 599–609.

• Mancosu, P., 2017, Mathematical Style, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, editor Edward N. Zalta, publisher Metaphysics Research Lab, Stanford University.

• Hacking, I., 2002, Αναπαριστώντας και Παρεμβαίνοντας: Εισαγωγικά Θέματα στη Φιλοσοφία της Φυσικής Επιστήμης. ΕΜΠ Πανεπιστημιακές Εκδόσεις, Αθήνα.