Για τον Hersh τα Μαθηματικά υπάρχουν και είναι πραγματικά μόνο ως τμήμα του ανθρώπινου πολιτισμού. Αν και φαίνονται αιώνια και αλάνθαστα, συνιστούν κοινωνικό – πολιτισμικό – ιστορικό φαινόμενο. Τα ερωτήματα που θέτει για τους αριθμούς, τα σύνολα, τη σημασία και τη φύση των Μαθηματικών, την ύπαρξη τους, τον τρόπο γνώσης τους απαντώνται μέσα σε αυτό το πλαίσιο θέασης των πραγμάτων: Δεν είναι ούτε φυσικά ούτε νοητικά, είναι κοινωνικά, μέρος της κουλτούρας και της ιστορίας. Είναι όπως ο νόμος, η θρησκεία, όπως όλα αυτά που είναι πραγματικά, αλλά μόνον ως τμήμα της συλλογικής ανθρώπινης συνείδησης.   

Στο ερώτημα ‘Τι είδους πράγμα είναι ο αριθμός;’ ο Hersh λέει ότι μπορούμε να σκεφτούμε δυο βασικές απαντήσεις, δηλαδή είτε ότι είναι κάτι εξωτερικό, όπως τα υλικά αντικείμενα, είτε κάτι εσωτερικό, όπως η σκέψη στον νου του ανθρώπου. Οι φιλόσοφοι έχουν υπερασπιστεί αυτές τις δυο απόψεις, οι οποίες είναι λανθασμένες. Ο αριθμός δεν είναι κάτι εκεί έξω, γιατί δεν υπάρχει τόπος στον οποίο να βρίσκεται ούτε πράγμα που να είναι ο αριθμός. Αλλά δεν είναι ούτε ακριβώς σκέψη, γιατί τελικά δύο και δύο κάνουν τέσσερα είτε το γνωρίζουμε είτε όχι. Ο Frege έθεσε το θέμα ότι οι μαθηματικοί δεν γνωρίζουν τη σημασία του Ένα. Τι είναι το Ένα; Κανένας δεν μπορεί να απαντήσει με συνέπεια, ούτε και ο ίδιος έδωσε καλύτερη απάντηση από τις προϋπάρχουσες. Και αυτό συνεχίζεται μέχρι σήμερα. Γνωρίζουμε πάρα πολλά Μαθηματικά, αλλά δεν γνωρίζουμε τι πραγματικά είναι. Το ίδιο ισχύει και για τον αριθμό: Γνωρίζουμε πολλά για αυτόν, αλλά  τι είναι αυτός, τι είδους πράγμα είναι;

Όταν λέμε ότι ένα μαθηματικό αντικείμενο ή οντότητα όπως ο αριθμός είναι είτε εντελώς εξωτερικό και ανεξάρτητο από την ανθρώπινη σκέψη και δράση είτε εσωτερικό ως σκέψη στον νου, δεν λέμε τίποτα για τους αριθμούς αλλά για την ύπαρξη, δηλαδή ότι διακρίνουμε μόνο δυο είδη ύπαρξης: Όλα είναι είτε εξωτερικά είτε εσωτερικά. Αλλά αυτή η διάκριση, η πολικότητα ή διχοτομία δεν ταιριάζει στους αριθμούς και γι’ αυτό υπάρχει το πρόβλημα, δηλαδή το ερώτημα δημιουργείται από την ψευδή προϋπόθεση ότι υπάρχουν μόνο δυο είδη αντικειμένων -τα εξωτερικά και τα εσωτερικά. Αν όμως παρατηρήσουμε γύρω μας διαπιστώνουμε καταστάσεις πραγμάτων του κόσμου, όπως το κυκλοφοριακό πρόβλημα, οι ειδήσεις στην τηλεόραση, κοινωνικές υποχρεώσεις κτλ., που δεν είναι ακριβώς εσωτερικές ως σκέψεις στον νου μας, αλλά ούτε και εξωτερικές ως προς την ανθρώπινη σκέψη και δραστηριότητα. Συνιστούν διαφορετικό είδος πραγματικότητας και αυτό είναι το πρόβλημα. Αυτό το είδος πραγματικότητας έχει αποκλειστεί από τη Μεταφυσική και την Οντολογία, αν και είναι πασίγνωστο και μελετάται από τους κοινωνιολόγους και ανθρωπολόγους. Αλλά οι φιλόσοφοι παραβλέπουν ή απορρίπτουν αυτή την τρίτη λύση.

Έτσι, τα Μαθηματικά δεν είναι ούτε φυσικά ούτε νοητικά, είναι κοινωνικά, μέρος του πολιτισμού και της ιστορίας. Είναι όπως όλα αυτά που είναι πραγματικά μόνο ως μέρος της ανθρώπινης συλλογικής συνείδησης -αυτό είναι τα Μαθηματικά. Με το να είναι μέρος της κοινωνίας και του πολιτισμού, είναι συγχρόνως και εξωτερικά και εσωτερικά -εσωτερικά ως προς την κοινωνία και τον πολιτισμό ως σύνολο και εξωτερικά ως προς το άτομο, το οποίο τα μαθαίνει στο σχολείο και από τα βιβλία. Όμως, για τους πλατωνιστές μαθηματικούς, αυτή η τρίτη λύση είναι σκανδαλώδης.

Ο Hersh ονομάζει την πρόταση αυτή ‘ανθρωπιστική φιλοσοφία των Μαθηματικών’. Χρησιμοποιεί τον όρο ‘ανθρωπιστικός’ γιατί δηλώνει ότι τα Μαθηματικά είναι κάτι το ανθρώπινο και δεν υπάρχουν χωρίς τους ανθρώπους, παρ’ ότι πολλοί βρίσκονται σε σύγχυση και θεωρούν ότι οι αριθμοί υπάρχουν είτε κάποιοι γνωρίζουν είτε όχι γι’ αυτούς. Η ‘ανθρωπιστική φιλοσοφία των Μαθηματικών’ βλέπει τα Μαθηματικά ως τμήμα του ανθρώπινου πολιτισμού και της ιστορίας. Η φιλοσοφία αυτή προσγειώνει τα Μαθηματικά, τα κάνει ψυχολογικά προσιτά και αυξάνει την πιθανότητα να μπορεί κάποιος να τα μάθει, γιατί είναι ακριβώς ένα από τα πράγματα που κάνουν οι άνθρωποι. Την ονομάζει ακόμα ‘κοινωνική εννοιοκρατία’, γιατί τα Μαθηματικά συνίστανται από έννοιες οι οποίες ισχύουν όχι ατομικά, αλλά κοινωνικά.

Μπορεί κάποιος να υποστηρίξει ότι ‘Υπάρχουν εννιά πλανήτες και υπήρχαν πριν από τους ανθρώπους. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός εννιά υπήρχε πριν από τους ανθρώπους’. Πράγματι βλέπουμε μαθηματικά αντικείμενα, όπως μικρούς αριθμούς, στη φυσική πραγματικότητα και αυτό μοιάζει να αντιφάσκει στην ιδέα ότι οι αριθμοί είναι κοινωνικές οντότητες. Μια σημαντική παρατήρηση εδώ είναι ότι χρησιμοποιούμε τις λέξεις για τους αριθμούς (τα αριθμητικά) με δυο διαφορετικούς τρόπους: Ως ουσιαστικά και ως επίθετα. Λέμε, για παράδειγμα, εννιά μήλα και το εννιά εδώ είναι επίθετο. Αν είναι αντικειμενικό γεγονός ότι υπάρχουν εννιά μήλα, τότε είναι τόσο αντικειμενικό όσο και ότι τα μήλα είναι κόκκινα ή ώριμα, δηλαδή κατέχουν την ιδιότητα της κοκκινότητας ή της ωριμότητας. Αυτό είναι γεγονός και δεν φαίνεται να υπάρχει κάποια δυσκολία σχετικά με αυτό. Η δυσκολία εμφανίζεται όταν ασυνείδητα και απρόσεκτα περνάμε από αυτή την πραγματική ερμηνεία των μαθηματικών λέξεων ως επίθετα, όπως το εννιά, στην καθαρή αφαίρεση. Τότε δεν πρόκειται για το ίδιο εννιά, αν και βέβαια υπάρχει κάποια σχέση. Αλλά ο αριθμός εννιά ως αφηρημένο αντικείμενο, ως μέλος ενός αριθμητικού συστήματος, είναι ανθρώπινο κτήμα, ανθρώπινη δημιουργία και δεν υφίσταται χωρίς εμάς. Η δυνατότητα ύπαρξης συλλογών από εννιά αντικείμενα είναι φυσική και υπάρχει χωρίς εμάς. Τα δυο είδη εννιά είναι διαφορετικά. Είναι ως να λέω ότι ένα αντικείμενο είναι στρογγυλό, πράγμα που είναι ένα αντικειμενικό γεγονός, αλλά η έννοια της στρογγυλότητας, της μαθηματικής στρογγυλότητας, είναι κάτι διαφορετικό.

Σύμφωνα, τώρα, με τον Ernest, η Φιλοσοφία των Μαθηματικών βρίσκεται στη μέση μιας Kuhnian επανάστασης. Για πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια, τα Μαθηματικά κυριαρχούνται από ένα απόλυτο αιτιοκρατικό παράδειγμα, το οποίο τα θεωρεί ως ένα σώμα αλάνθαστης και αντικειμενικής αλήθειας, μακριά από τα ζητήματα και τις αξίες της ανθρωπότητας. Σήμερα, αυτό αμφισβητείται από αυξανόμενο αριθμό φιλοσόφων και μαθηματικών. Αντίθετα, αυτοί δηλώνουν ότι τα Μαθηματικά υπόκεινται σε λάθη, αλλάζουν και, όπως κάθε άλλο σώμα γνώσης, αποτελούν προϊόν της ανθρώπινης εφευρετικότητας.

Το πώς βλέπουμε τα Μαθηματικά είναι σημαντικό σε πολλά επίπεδα, αλλά πουθενά περισσότερο από ό,τι στον τομέα της εκπαίδευσης και της κοινωνίας. Συνεπώς, αν τα Μαθηματικά είναι ένα σώμα αλάνθαστης και αντικειμενικής γνώσης, τότε δεν μπορούν να έχουν καμιά κοινωνική ευθύνη. Έτσι, η μικρή συμμετοχή τμημάτων του πληθυσμού, όπως οι γυναίκες, η αίσθηση της πολιτισμικής αποξένωσης από τα Μαθηματικά που ένιωσαν πολλές ομάδες μαθητών και φοιτητών, η σχέση των Μαθηματικών με τα ανθρώπινα θέματα, όπως η μετάδοση των κοινωνικών και πολιτικών αξιών, ο ρόλος τους στην κατανομή του πλούτου και της εξουσίας, κανένα από αυτά δεν είναι θέμα που σχετίζεται με τα Μαθηματικά.

Από την άλλη πλευρά, εάν γίνει δεκτό ότι τα Μαθηματικά είναι μια κοινωνική κατασκευή υποκείμενη σε πλάνη, τότε συνιστούν μια διαδικασία έρευνας και γνώσης, ένα συνεχώς εξελισσόμενο τομέα της ανθρώπινης δημιουργίας και εφεύρεσης, όχι ένα τελικό προϊόν. Μια τέτοια δυναμική προοπτική των Μαθηματικών πρέπει να περιλαμβάνει την ενδυνάμωση των εκπαιδευομένων να δημιουργήσουν τη δικιά τους μαθηματική γνώση. Τα Μαθηματικά μπορούν να αναδιαμορφωθούν, τουλάχιστον στο σχολείο, ώστε να δώσουν σε όλες τις κοινωνικές ομάδες μεγαλύτερη πρόσβαση στις έννοιές τους, καθώς επίσης στον πλούτο και τη δύναμη που φέρνει η γνώση τους. Τα κοινωνικά πλαίσια χρήσης και πρακτικής εφαρμογής των Μαθηματικών δεν μπορούν πλέον να σπρώχνονται νομίμως στην άκρη, οι υπόδηλες αξίες των Μαθηματικών πρέπει να αντιμετωπιστούν έντιμα. Όταν δούμε τα Μαθηματικά κατ’ αυτόν τον τρόπο, πρέπει να τα μελετάμε σε ζωντανές καταστάσεις και πλαίσια που είναι γεμάτα νόημα και σχετικά με τους διδασκόμενους, να συμπεριλαμβάνουν τις γλώσσες, τους πολιτισμούς και την καθημερινή ζωή, όπως επίσης και τις σχολικές εμπειρίες τους. Αυτή η άποψη των Μαθηματικών παρέχει μια λογική, καθώς και ένα θεμέλιο, για μια πολυπολιτισμική και φιλική για τις γυναίκες προσέγγιση στα Μαθηματικά. Συνολικά, τα Μαθηματικά γίνονται υπεύθυνα για τις χρήσεις τους και τις επιπτώσεις στην εκπαίδευση και την κοινωνία

Τέλος, ο αριθμός είναι ένα εννοιολογικό σχήμα, μια αφαίρεση δεύτερου επιπέδου από τους συγκεκριμένους αριθμούς. Η διαδικασία αφαίρεσης για να αναγνωρίζουμε τους συγκεκριμένους αριθμούς είναι η μέτρηση. Η μέτρηση βασίζεται στην ικανότητα τού να διαιρούμε τον κόσμο γύρω μας σε διακριτά αντικείμενα. Η δυνατότητα αυτή προέκυψε αρκετά πίσω στην πορεία της εξέλιξης. Η χρήση συγκεκριμένων αριθμών είναι μια φυσική ολοκληρωτική περιγραφή συμπληρωματική προς τη διαφορική περιγραφή με την αναγνώριση διακριτών αντικειμένων. Αυτή η ικανότητα είναι σίγουρα επωφελής για τα ανώτερα ζώα στον αγώνα για ύπαρξη. Οι συσκευές για μέτρηση μπορούν να είναι πολύ απλές -ασύγκριτα πιο απλές από ό, τι αυτές για την αναγνώριση χωριστών αντικειμένων στις εικόνες

Ωστόσο η φύση, για κάποιο λόγο, δεν δίνει αυτή την ικανότητα στον εγκέφαλό μας. Οι αριθμοί που μπορούμε να αναγνωρίζουμε άμεσα είναι μικροί, μέχρι το πέντε ή το έξι στην καλύτερη περίπτωση -αν και μπορεί να επεκταθεί κάπως από την εκπαίδευση. Έτσι, ο αριθμός 2 είναι μια νευρωνική έννοια, αλλά το 20 και το 200 δεν είναι. Μπορούμε να τους χρησιμοποιήσουμε μόνο μέσω της μέτρησης, δημιουργώντας τεχνητές αναπαραστάσεις σε υλικό εξωτερικό ως προς τον εγκέφαλο. Το υλικό μπορεί να είναι, και ήταν ιστορικά, δάκτυλα των χεριών και των ποδιών, βότσαλα, χαρακιές κτλ., και τελικά εξελιγμένα σημεία στο χαρτί και ηλεκτρονικές καταστάσεις στο κύκλωμα του υπολογιστή. Η καλύτερη αναπαράσταση για θεωρητικούς σκοπούς εξακολουθεί να είναι το αρχαίο στυλ σύμφωνα με το οποίο, όταν ένα επιλεγμένο σύμβολο, ας πούμε το ‘Ι’, υπέχει θέση ενός αντικειμένου. Έτσι, το 2 είναι ‘ΙΙ’, και το 5 είναι ‘IIIII’.

Από την παραπάνω έκθεση, είναι φανερό ότι υπάρχει μια έντονα αναπτυσσόμενη έρευνα που αφορά στη νευρολογική και κοινωνική βάση της ανθρώπινης μαθηματικής ικανότητας. Είναι επίσης προφανές ότι αυτή η έρευνα είναι πολύ πρόσφατη και δεν έχει ακόμη καταλήξει σε οριστικά συμπεράσματα. Όταν συμβεί αυτό, θα είμαστε σε θέση να εξηγήσουμε τον τρόπο με τον οποίο και ο ανθρώπινος εγκέφαλος και η κοινωνία επεξεργάζονται τις μαθηματικές και κυρίως αριθμητικές έννοιες και μεγέθη.

Ίσως πρέπει, ως κριτική, να σημειώσουμε εδώ δυο πράγματα:

(α) Δικαιούται κάποιος να σκεφτεί, μετά από όσα προηγήθηκαν, ότι ούτε ο εγκέφαλος από μόνος του με τις λειτουργίες του, ούτε η κοινωνία από μόνη της με τον πολιτισμό της δημιουργούν Μαθηματικά, αλλά αυτό το κάνει η ολότητα, εσωτερική και εξωτερική. Συνεπώς, με αυτή την έννοια, η ολότητα κάνει Μαθηματικά, είναι αυτή που δημιουργεί δραστηριότητες που γεννούν μάθηση.

(β) Η πιο πάνω συζήτηση προβάλλει τη δυναμική άποψη της Γνώσης, δεν αφορά σε δοσμένο/ τελειωμένο σύνολο πληροφορίας το οποίο έφτασε μέχρι τις μέρες μας, αλλά στη ζωντανή γνώση που ανοίγει νέους δρόμους και προχωράει διευρύνοντας συνεχώς τον ορίζοντα της συνείδησής μας. Αντίθετα από την έρευνα, η τελειωμένη γνώση, παρουσιάζοντας μια σταθερή εικόνα του κόσμου, αποτελεί ουσιαστικά παύση της Γνώσης. Έτσι, η σώρευση γνώσης/ πληροφορίας δεν οδηγεί στην καλύτερη κατανόηση του κόσμου, αλλά αποτελεί μονάχα αντίληψη διαφόρων μορφών του, οι οποίες είναι ήδη γνωστές και επαναλαμβανόμενες, χωρίς στοιχεία εξέλιξης.