Αν δούμε διαχρονικά την έννοια της κλίμακας, συναντάμε την πηγή της στη Γεωγραφία και ιδιαίτερα στη Χαρτογραφία. Όσο για τη γενικότερη εφαρμογή και χρησιμοποίησή της ως μεθοδολογικού οργάνου στην επιστήμη, πρέπει να την αναζητήσουμε στην Αναλυτική Γεωμετρία και ειδικότερα στη διαμόρφωση των συστημάτων συντεταγμένων και αναφοράς, όπως αυτά συνελήφθησαν από τον Καρτέσιο και εξελίχθηκαν στη συνέχεια. Επίσης, ο όρος ‘κλίμακα’ έχει αποκτήσει στη γλώσσα ευρύτερη σημασία, που δεν έχει άμεση σχέση με τις διαστάσεις των αντικειμένων, αλλά χρησιμεύει για να προσδιορίσουμε μια τάξη πραγμάτων ή να τη διαχωρίσουμε από μίαν άλλη. Η έννοια της κλίμακας, για να πάρει συγκροτημένη μορφή στην επιστήμη, έχει ανάγκη από τη δημιουργία ορισμένων μοντέλων, φυσικών ή μαθηματικών. Αλλά ακριβώς η ύπαρξη μαθηματικών μοντέλων μας τοποθετεί στο κέντρο του προβλήματος, όταν θέλουμε να μελετήσουμε το είδος των αναπαραστάσεων και σχηματοποιήσεων μέσα από τις οποίες ο ανθρώπινος νους εφαρμόζει την έννοια της κλίμακας. Οι σχηματοποιήσεις αυτές γίνονται δυνατές χάρη στη χρήση συντεταγμένων και είναι ακριβώς αυτή η έννοια που μας επιτρέπει να μελετήσουμε τις μαθηματικές εφαρμογές της έννοιας της κλίμακας και να περιλάβουμε σε ευρύτερο θεωρητικό σχήμα τις διάφορες χρήσεις της. Ο κλάδος των Μαθηματικών, στον οποίο συγκροτείται και εμφανίζεται η έννοια των συντεταγμένων, είναι η Αναλυτική Γεωμετρία, που επιτρέπει να μετατρέπουμε γεωμετρικές παραστάσεις σε αλγεβρικές σχέσεις και το αντίστροφο. Αυτό που ενδιαφέρει είναι η δυνατότητα μετατροπής ενός συστήματος (συγκεκριμένα Μαθηματικά, Γεωμετρία του χώρου) σε ένα άλλο (αφηρημένα Μαθηματικά, αλγεβρικές σχέσεις), δηλαδή η αντίστοιχη αναπαράσταση των φαινομένων μέσα από διαφορετικά συστήματα. Η έννοια της κλίμακας παίρνει έτσι, μέσα από τα Μαθηματικά, αναλυτική μορφή, δηλαδή μορφή αλγεβρικών σχέσεων.   

Η χρήση της έννοιας της κλίμακας επιτρέπει να κατασκευάσουμε δυο ειδών μοντέλα:

(i) ένα που ανταποκρίνεται στη σμίκρυνση ή τη μεγέθυνση του πραγματικού, και

(ii) ένα που επιτρέπει να ανασυγκροτούμε, πάνω σε συμβατική βάση, σειρά από φαινόμενα που μελετάμε έτσι, ώστε να τα συσχετίσουμε μεταξύ τους.

Η πρώτη κατασκευή επιτρέπει να έχουμε πιο συνθετική ή αναλυτική εποπτεία στα φαινόμενα, η οποία, ανάλογα με τη σχηματοποίηση που κάνουμε, ανταποκρίνεται περισσότερο ή λιγότερο στην πραγματικότητα που αποκαλύπτουν οι αισθήσεις μας. Η σμίκρυνση ή η μεγέθυνση του πραγματικού, για να έχει σχέση με την πραγματικότητα, δεν πρέπει να υπερβαίνει ορισμένα όρια, αλλιώς, αλλάζοντας κλίμακα, κατασκευάζουμε ένα διαφορετικό κόσμο.

Στη δεύτερη κατασκευή η έννοια της κλίμακας παύει να είναι όργανο σχηματικής προβολής της πραγματικότητας και γίνεται όργανο απομόνωσης σειράς φαινομένων χάρη σε συγκεκριμένες μετρήσεις έτσι, ώστε να μπορέσουμε να τα συσχετίσουμε μεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή δημιουργούμε ένα σύστημα από συμβατικούς παράγοντες, με τη βοήθεια των οποίων ανασυγκροτούμε τον κόσμο πάνω σε μια μετρική βάση. Η βάση αυτή είναι χρήσιμη, γιατί δίνει σειρά από σχέσεις, τις οποίες διατυπώνουμε με τη μορφή νόμων που επιτρέπουν να προβλέπουμε την πορεία των φαινομένων. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε κατακερματίσει την πραγματικότητα, την έχουμε υποκαταστήσει, μεταβάλλοντάς την σε μαθηματική εννοιολογική κατασκευή. Αυτή είναι η συνηθισμένη διαδικασία που ακολουθεί ο νους απέναντι στην πραγματικότητα. Μπορούμε να δώσουμε στην έννοια της κλίμακας ανάλογη σημασία με αυτή που δίνουμε στη γλώσσα σε σχέση με την πραγματικότητα, δηλαδή ενός συμβολικού συστήματος που οργανώνει και κινεί ο νους μας. Έχουμε ανάγκη την έννοια της κλίμακας για να οργανώσουμε και αντιληφθούμε την πραγματικότητα, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι αυτή η πραγματικότητα είναι αυτούσια προβολή της αντικειμενικής πραγματικότητας. Έχουμε, δηλαδή, να κάνουμε με ένα σύστημα αναφοράς που έχει τη δική του δομή και με βάση το οποίο αντιλαμβανόμαστε και ερμηνεύουμε τα φαινόμενα. Ποιος είναι όμως ο πραγματικός κόσμος, η ως-έχει πραγματικότητα; Υπάρχουν τόσες πραγματικότητες όσες και κλίμακες, με βάση τις οποίες αντιμετωπίζουμε τα φαινόμενα, πράγμα που σημαίνει ότι στην αναπαράσταση του κόσμου από την Επιστήμη υπεισέρχονται αναγκαστικά και σημεία συμβατικά. Για τον λόγο αυτό η αλλαγή κλίμακας, όταν μεταβαίνουμε από το επίπεδο του ανθρώπου στον μικρόκοσμο, μας τοποθετεί μπροστά σε μιαν άλλη πραγματικότητα -κάτι ανάλογο συμβαίνει όταν από την περιοχή του ανθρώπου περνούμε στον μακρόκοσμο του αστρικού διαστήματος. Γιατί δεν είναι δυνατό να χωρίσουμε τη δομή του συστήματος, μέσα από το οποίο μελετάμε και ερμηνεύουμε τα φαινόμενα, από την ίδια την πραγματικότητα. Ο μακρόκοσμος και ο μικρόκοσμος, είναι έννοιες που έχει δημιουργήσει ο νους και εκφράζουν τον ανθρώπινο τρόπο κατανόησης, καθώς επίσης και τα συστήματα αναφοράς, που προϋποθέτει η μελέτη αυτών των εννοιών. Χωρίς όμως τις έννοιες αυτές η Επιστήμη ήταν αδύνατο να σχηματίσει συγκροτημένες αναπαραστάσεις της πραγματικότητας έτσι, ώστε να μπορεί να κινείται αποτελεσματικά μέσα σε αυτή.

Όπως λοιπόν στη Φυσική διακρίνεται ο μακρόκοσμος, ο μικρόκοσμος και η μέση ανθρώπινη κλίμακα, με ανάλογο τρόπο, τα Σύγχρονα Μαθηματικά που προτείνει ο Gödel και, στη συνέχεια, η Μη-συμβατική Ανάλυση, η ασάφεια κτλ. φαίνεται να αντιστοιχούν στον μικρόκοσμο της Φυσικής, στο απειροελάχιστο, στο μη συνηθισμένο στην κλασική μαθηματική οπτική, η οποία αντιστοιχεί στον μακρόκοσμο και περισσότερο στον γήινο κόσμο. Έτσι, ενώ τα κλασικά Μαθηματικά εισάγουν δυο επίπεδα πραγματικότητας, δυο κλίμακες φαινομένων, αυτή που ασχολείται με το πεπερασμένο και αυτή που ασχολείται με το άπειρο, είτε με το διακριτό/ ψηφιακό και συνεχές/ αναλογικό, τα Σύγχρονα Μαθηματικά εισάγουν απειροστά, καθώς και ασάφεια, αβεβαιότητα, μη-διακριτότητα κ.ά. Συνεπώς, είναι ουσιαστικό να διακρίνουμε και να καθορίσουμε την κατάλληλη κλίμακα των μαθηματικών οντοτήτων και φαινομένων. Άλλο το επίπεδο πραγματικότητας των Κλασικών Μαθηματικών και άλλο αυτό των Μη-κλασικών. Άλλη η κλίμακα των πρώτων και άλλη αυτή των δεύτερων.  

Αν κάνουμε Μαθηματικά στον κλασικό κόσμο και στην αντίστοιχη κλίμακα, σε ένα κόσμο Ευκλείδειας ή Καντοριανής νοοτροπίας, όπου όλα είναι τέλεια και τελειωμένα, δοσμένα και οργανωμένα με έννοιες, ορισμούς, αξιώματα, θεωρήματα, λογικές αποδείξεις κτλ., δηλαδή σε ένα ΤΑΣ, τότε οπωσδήποτε, αργά ή γρήγορα, βρίσκουμε τελικά την ισχύ ή όχι, την αλήθεια ή το ψεύδος, το σωστό ή το λάθος των ισχυρισμών μας. Αν όμως κάνουμε Μαθηματικά στον μη-κλασικό κόσμο και στην αντίστοιχη κλίμακα, σε ένα κόσμο Μη-ευκλείδειας ή Μη-καντοριανής νοοτροπίας, όπου κυριαρχεί η δυναμική, η εξελικτική διαδικασία, η ευρετική, η αλληλεπίδραση, η σχετικοποίηση, όπου συναντάμε το απειροστό, το ασαφές και αβέβαιο, όπου δεν διακρίνουμε καλά τα αντικείμενα και τους τρόπους/ δρόμους, αλλά κινούμαστε στο μη-συνηθισμένο, το λανθάνον και σκοτεινό, τότε δεν είναι καθόλου βέβαιο ότι θα βρούμε την απόδειξη ή τη διάψευση των ισχυρισμών μας: οι προτάσεις μας είναι πλέον αναποφάσιστες. Οι αρχαίοι σκεπτικιστές χρησιμοποιούσαν τον όρο ‘εποχή’, έμεναν δηλαδή αναποφάσιστοι για το αν κάτι είναι σωστό ή λάθος, αλήθεια ή ψέμα. Σε αυτό το επίπεδο, σε αυτή την κλίμακα φαινομένων των Σύγχρονων Μη-κλασικών Μαθηματικών η ορθή στάση είναι η σκεπτικιστική εποχή. Επομένως, αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε μια μεταφορά, τα συνήθη Κλασικά Μαθηματικά αντιστοιχούν στο επίπεδο πραγματικότητας και στην κλίμακα φαινομένων του φυσικού μακρόκοσμου και γήινου κόσμου, ενώ τα Σύγχρονα Μη-κλασικά Μαθηματικά σε αυτά του μικρόκοσμου.

Τελειώνω με δυο παρατηρήσεις που θεωρώ πολύ σημαντικές:

(i) όπως είδαμε πιο πάνω, η σύγχρονη Φυσική τείνει περισσότερο στην παραδοχή της ανομοιογένειας των φαινομένων στις διάφορες κλίμακες. Συνεπώς, έπειτα από αυτά, γίνεται φανερό ότι είναι δύσκολο να αποφανθούμε για την πραγματική συγκρότηση του απείρως μικρού˙ το πρόβλημα της ομοιογένειας ή ανομοιογένειας των φαινομένων στις διάφορες κλίμακες παραμένει αναποφάσιστο. Ανάλογο πρόβλημα υπάρχει και στα Σύγχρονα Μαθηματικά και δεν είναι καθόλου βέβαιο ότι υπάρχει ομοιογένεια και, επομένως, μπορούμε να εφαρμόζουμε τα ίδια βασικά αξιώματα και διαδικασίες και στο επίπεδο των απειροστών, όπως γίνεται από τους εισηγητές των διαφόρων θεωριών, καθώς είδαμε στα προηγούμενα -ίσως έχουμε διαφορετική δομή˙

(ii) ο Gödel με την εργασία του επιτυγχάνει 1-1 απεικόνιση μεταξύ όλων των τύπων και των αποδείξεων αφενός και ορισμένου υποσυνόλου των φυσικών, συγκεκριμένα του συνόλου των πρώτων αριθμών, αφετέρου. Χαρακτηριστικό γνώρισμα της εργασίας του Gödel, αλλά και της νέας περιόδου που εγκαινιάζεται με αυτή στα Μαθηματικά, είναι η αριθμητικοποίηση των Μετα-μαθηματικών, δηλαδή η αντιστοίχηση λογικών σχέσεων, από τη μια, σε καθαρά αριθμητικές σχέσεις, από την άλλη. Με την αριθμητικοποίηση αυτή επιτυγχάνεται, τελικά, μια αναγωγή των Μετα-μαθηματικών, όπως έγινε και προηγουμένως με τα Μαθηματικά, στους φυσικούς αριθμούς. Εκείνο, λοιπόν, που πετυχαίνει ο Gödel είναι να απεικονίσει, με κατάλληλο τρόπο, όλες τις μετα-μαθηματικές προτάσεις που αναφέρονται σε ιδιότητες δομής του θεωρούμενου λογικο-μαθηματικού συστήματος που περιέχει τους φυσικούς, στο ίδιο το σύστημα. Η μέθοδος της αριθμητικοποίησης των Μετα-μαθηματικών, που ακολουθεί ο Gödel, είναι ανάλογη στην ουσία με ό,τι γίνεται και στην Αναλυτική Γεωμετρία, με την αντιστοίχηση συντεταγμένων στα γεωμετρικά σχήματα και την έκφραση των γεωμετρικών σχέσεων με αριθμητικές σχέσεις. Μιλήσαμε προηγουμένως για τον ρόλο της Αναλυτικής Γεωμετρίας στην έννοια της κλίμακας, ενώ πρέπει να σημειώσω ότι όλα αυτά συνιστούν αντίστοιχη αναπαράσταση των μαθηματικών φαινομένων μέσα από διαφορετικά συστήματα. 

Και τα δυο πιο πάνω είναι βασικά θέματα, που οφείλουμε να διερευνήσουμε.