Σύμφωνα με τον διάσημο Γάλλο μαθηματικό Poincaré, έναν working mathematician που μας απασχολεί εδώ, το χαρακτηριστικό που διακρίνει τον μαθηματικό νου δεν είναι κυρίως η λογική, αλλά η αισθητική, η οποία είναι έμφυτη. Κάποιοι άνθρωποι γεννιούνται με την αίσθηση της μαθηματικής ομορφιάς και είναι ακριβώς αυτοί που μπορούν να γίνουν δημιουργικοί μαθηματικοί, ενώ οι άλλοι δεν μπορούν. Ο Papert, μαθηματικός, πληροφορικός, εκπαιδευτικός, πρωτοπόρος της τεχνητής νοημοσύνης, δημιουργός της γλώσσας προγραμματισμού Logo, σχολιάζοντας τη θέση αυτή του Poincaré, υποστηρίζει ότι πράγματι είναι βαθιά ριζωμένη στην παιδεία η άποψη ότι, δυνατότητα για εκτίμηση της μαθηματικής ομορφιάς και για εμπειρία της μαθηματικής ευχαρίστησης, μπορεί να έχει μόνο μια πολύ μικρή μειοψηφία των ανθρώπων. Αποτέλεσμα αυτού είναι να κάνουμε αυτή τη διχοτόμηση με σκληρές διαχωριστικές γραμμές. Η θέση του Poincaré αλλού μαλακώνει και αλλού σκληραίνει περισσότερο αυτές τις διαχωριστικές γραμμές. Τις μαλακώνει όταν αποδίδει στην αισθητική σημαντικό ρόλο στα Μαθηματικά και τις σκληραίνει όταν παραδέχεται την ύπαρξη έμφυτης μαθηματικής αισθητικής, η οποία δεν είναι για όλους, αλλά για λίγους.

Αν η θέση του Poincaré μπορούσε να περιλάβει στοιχεία και από τη συνήθη μαθηματική πρακτική, τότε σύμφωνα με τα κριτήριά του θα προέκυπτε ότι η μαθηματική εκπαίδευση, όπως αυτή εφαρμόζεται, είναι εντελώς αποπροσανατολισμένη και καταστροφική. Αν η μαθηματική εκπαίδευση δείχνει ελάχιστο ενδιαφέρον για την αισθητική, αυτό γίνεται μάλλον ως επιφαινόμενο, γαρνιτούρα της μαθηματικής τούρτας, παρά ως κινητήρια δύναμη. Ακόμα και οι σύγχρονες θεωρίες, όπως για παράδειγμα ο κονστρουκτιβισμός, αγνοούν σε μεγάλο βαθμό την αισθητική και τη διαίσθηση και επικεντρώνονται στην ανάλυση της λογικής της μαθηματικής σκέψης. Το γεγονός ότι η παιδεία απέχει πολύ από το να καλλιεργήσει τη μαθηματική αισθητική των μαθητών, έχει ως αποτέλεσμα να υπονομεύει τη θέση του Poincaré. Επομένως, αν ο τελευταίος έχει δίκιο, τότε εξηγούνται οι καταστροφικές συνέπειες της μαθηματικής εκπαίδευσης.

Η μαθηματική ομορφιά, ευχαρίστηση και διαίσθηση είναι στοιχεία αυτού που ονομάζεται εξωλογική πλευρά των Μαθηματικών. Από την άλλη, η λογική πλευρά των Μαθηματικών, όπως των φορμαλιστών, του Russell ή του Tarski, θεωρεί τα Μαθηματικά αυτο-περιοριζόμενα, λογικά αποδεικνυόμενα με εσωτερικά κριτήρια εγκυρότητας και αγνοεί την αναφορικότητα ως προς οτιδήποτε έξω από αυτά, καθώς επίσης και φαινόμενα ομορφιάς και ευχαρίστησης. Η εξωλογική πλευρά των Μαθηματικών οδηγεί σε ένα άλλο θέμα της θέσης του Poincaré, αυτό του ρόλου και της φύσης του ασυνειδήτου. Ο Poincaré προσεγγίζει στην εποχή του τον Freud αποδεχόμενος την ύπαρξη συνειδητού και ασυνείδητου νου, καθένας από τους οποίους κυβερνάται από τους δικούς του νόμους. Ο Poincaré εντυπωσιάζεται από τον τρόπο με τον οποίο η συνειδητοποίηση της λύσης ενός προβλήματος, το οποίο μας έχει απασχολήσει προηγουμένως, έρχεται συχνά απροειδοποίητα και σχεδόν έτοιμη ως να την παρήγαγε ένα κρυμμένο τμήμα του νου, που δεν υπόκειται στη βούληση και στη συνείδησή μας. Το κατά Poincaré ασυνείδητο είναι ένα ουδέτερο πεδίο, μια  υπέρτατα λογική, με τον δικό της τρόπο, συνδυαστική μηχανή. Ο Poincaré απορρίπτει τη λογική άποψη για τη φύση και τα θεμέλια των Μαθηματικών επειδή τη θεωρεί εντελώς ανεπαρκή ως εξήγηση της δημιουργικής διεργασίας τους. Συγκεκριμένα, η λογική άποψη:

(i) Είναι ελλιπής, επειδή δεν εξηγεί τη διαδικασία επιλογής, η οποία καθορίζει τη συνεπαγωγή αποτελεσμάτων, καθώς και ποια από αυτά ήταν επιδιωκόμενα˙
(ii) Είναι παραπλανητική, επειδή οι κανόνες συνεπαγωγής αποτελεσμάτων, που χρησιμοποιούνται στα Μαθηματικά, μπορούν εύκολα να οδηγήσουν σε αντιφάσεις και παράδοξα, αν εφαρμοστούν απρόσεκτα˙

(iii) Είναι λανθασμένη ως περιγραφή, επειδή κρύβει όλη τη δουλειά που γίνεται από πίσω, δηλαδή τα λανθασμένα ή μερικά αποτελέσματα στα οποία οι μαθηματικοί ξοδεύουν τον περισσότερο χρόνο τους, και δείχνει μόνο το τελικό και τέλειο προϊόν.

Με όλα αυτά τίθεται ένα βασικό πρόβλημα, που ο Poincaré ονομάζει “πρόβλημα πλοήγησης/ καθοδήγησης στον νοητικό χώρο”. Σύμφωνα με τον Poincaré, δεν αρκεί να οργανώσουμε λογικά τα Μαθηματικά, γιατί συχνά εργαζόμαστε με προβλήματα και προτάσεις, τα οποία μέσα σε συγκεκριμένο πλαίσιο αναφοράς είναι σε διάφορους βαθμούς λανθασμένα. Επομένως, καθοδηγούμαστε από την δια του ασυνειδήτου γνώση, δηλαδή τη διαίσθηση, και την αισθητική. Η θέση του Poincaré, για τον καθοδηγητικό παράγοντα στη μαθηματική εργασία, θεωρεί τρία στάδια:

(i) Το πρώτο στάδιο είναι αυτό της εσκεμμένης, συνειδητής μελέτης και ανάλυσης. Ρόλος του είναι η συλλογή στοιχείων από τα οποία θα οδηγηθούμε στη λύση του προβλήματος.
(ii) Μεσολαβεί το δεύτερο στάδιο της ασυνείδητης διεργασίας, το οποίο εξωτερικά φαίνεται ως προσωρινή εγκατάλειψη του προβλήματος. Ο Poincaré δέχεται μια διαδικασία εκκόλαψης, δηλαδή το πρόβλημα αφήνεται σε ένα ενεργό ασυνείδητο μηχανισμό, ο οποίος συνδυάζει τα στοιχεία που έχουμε συλλέξει στο πρώτο στάδιο. Στη συνέχεια, το αποτέλεσμα της ασυνείδητης διεργασίας επιστρέφει στον συνειδητό νου κάποια στιγμή, άσχετο με το τι κάνεις τη στιγμή εκείνη, και έχεις την αίσθηση του ξαφνικού, της έλλαμψης και της έμπνευσης. Το ερώτημα που τίθεται τώρα είναι τι καθοδηγεί τον ασυνείδητο νου για το τι να επιστρέψει στον συνειδητό νου. Εδώ ο Poincaré, ως αποτέλεσμα εμπειρικής παρατήρησης, βλέπει τον ρόλο της αισθητικής και ισχυρίζεται ότι οι ιδέες που αναδύονται από το ασυνείδητο δεν είναι απαραίτητα πάντα σωστές λύσεις του προβλήματος. Συμπεραίνει έτσι ότι το ασυνείδητο δεν μπορεί να προσδιορίσει πάντα αν μια ιδέα είναι σωστή, αλλά έχει πάντα τη σφραγίδα της μαθηματικής ομορφιάς.

(iii) Στο τρίτο στάδιο είναι αναγκαίος ο συνειδητός και αυστηρός έλεγχος των αποτελεσμάτων και των ιδεών που αναδύθηκαν από το ασυνείδητο: μπορούν να γίνουν αποδεκτά, να τροποποιηθούν ή και να απορριφθούν. Στην τελευταία περίπτωση η όλη διαδικασία μπορεί να γίνει ακόμα μια φορά. Συνεπώς, σύμφωνα με τον Poincaré, το κριτήριο που επιτρέπει στα προϊόντα του ασυνειδήτου τη διάβαση του κατωφλίου προς το συνειδητό είναι η αισθητική.

Όμως, την όλη σχέση που έχει κάποιος με τα Μαθηματικά μπορεί να τη βιώσει με πολλούς διαφορετικούς τρόπους: ως προσωρινή του υποταγή και παράδοση στα Μαθηματικά, ως άσκηση, ως έξυπνη ενασχόληση, ως επάγγελμα κτλ. Οποιαδήποτε από αυτές τις καταστάσεις μπορεί να βιωθεί από το άτομο ως όμορφη ή άσχημη, ευχάριστη ή δυσάρεστη, απωθητική ή ελκτική, αγχωτική ή ηδονοφόρα, αυτοεπιβεβαιωτική ή αυτοϋπερβατική. Οι παρατηρήσεις αυτές βάζουν σε αμφιβολία τη βασική θέση του Poincaré για το κριτήριο της αισθητικής. Υπάρχουν και άλλοι παράγοντες οι οποίοι επηρεάζουν το άτομο, ώστε να θεωρεί όμορφα ή άσχημα τα Μαθηματικά. Οι παράγοντες αυτοί καθορίζουν τη γενική στάση του ατόμου απέναντι στα Μαθηματικά. Η σχέση του ανθρώπου με οτιδήποτε άλλο είναι πολύπλοκο φαινόμενο, εξαρτάται τόσο από την προσωπικότητα του ίδιου όσο και από το περιβάλλον. Επομένως, δύσκολα περιμένει κάποιος να μην ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση των σχέσεών μας με τα Μαθηματικά.

Παρ’ όλα αυτά, η αισθητική πάντα περιλαμβάνει την αίσθηση της αρμονίας, της συμμετρίας, της διευθέτησης, δηλαδή της τάξης. Γνωρίζουμε όμως ότι, σύμφωνα με τον Jung, το αρχέτυπο της τάξης είναι ο αριθμός. Επομένως, ο βασικός καθοδηγητικός παράγοντας για τον συνδυασμό, επεξεργασία και ανάδυση από το ασυνείδητο των στοιχείων τού προς επίλυση προβλήματος είναι ο αριθμός. Πρέπει όμως να μην ξεχνάμε ότι ο αριθμός δεν είναι μόνο ποσοτικός, αλλά και ποιοτικός, δεν είναι μόνο εξωτερικός, αλλά και εσωτερικός ψυχικός παράγοντας.

Πηγές Πληροφορίας

• Davis, P. J. & Hersh, R. (1984). The Mathematical Experience. Penguin Books.

• Franz, M.-L. von (1964). Science and the Unconscious. Στο Jung, C. G. (Ed.), Man and His Symbols. Aldus Books, London.

• Franz, M.-L. von (1974). Number and Time. Rider, London.

• Hadamard, J. (1995). Η Ψυχολογία της Επινόησης στα Μαθηματικά. Κάτοπτρο, Αθήνα.

• Jung, C. G. (Ed.) (1964). Man and His Symbols. Aldus Books, London.

• Papert, S. (1985). Mindstorms. Harvester Press.

• Papert, S. (1978). Poincare and the Mathematical Unconscious. Στο Wechsler, J. (), Aesthetics in Science. Cambridge, Mass. MIT Press.

• Poincare, H. (1952). Science and Hypothesis. Dover Publications, NY.

• Poincare, H. (1997). Η Αξία της Επιστήμης. Κάτοπτρο, Αθήνα.

• Skemp, R. (1986). The Psychology of Learning Mathematics. Penguin Books, London.

• Τahta, (Ed.) (1993). Special Issue on Psychodynamics in Mathematics Education. For the Learning of Mathematics, 13(1).