Μαθηματικά δεν είναι μόνο οι ασκήσεις/ Ποίηση δεν είναι μόνο οι συγκινήσεις.

1. Novalis

Ο Γερμανός ποιητής και φιλόσοφος Novalis (Friedrich von Hardenberg, 1772-1801), προηγείται του μοντερνιστικού κινήματος κατά σχεδόν έναν αιώνα. Μετά τον θάνατό του γίνεται σημαντική προσωπικότητα για τις εξελίξεις στην ποιητική, ιδιαίτερα στον γαλλικό συμβολισμό του δέκατου ένατου αιώνα και τον ρωσικό των αρχών του εικοστού αιώνα. Ο Novalis ενδιαφέρεται βαθιά για την επιστήμη, ιδιαίτερα τη σύγχρονή του εμπειρική επιστήμη των εγκυκλοπαιδιστών του 18ου αιώνα υπό τον Denis Diderot. Περιγράφεται ως μοναδική προσωπικότητα στις προσπάθειές του να συνθέσει τις δύο κουλτούρες, αφενός αυτή του ποιητή-φιλοσόφου και αφετέρου του επιστήμονα-γεωλόγου, λαμβάνοντας υπόψη τον κεντρικό ρόλο της φαντασίας τόσο στη λογοτεχνία όσο και στην επιστήμη. Να σημειώσουμε πάντως, για την εξέλιξη της Λογοτεχνίας και της Επιστήμης ως ξεχωριστών κλάδων, ότι στην πραγματικότητα, και στο πλαίσιο των ‘δύο πολιτισμών’, αρχικά οι δύο ήταν ένας λόγος, που εξελίχθηκε και χώρισε, αλλά αυτός ο διαχωρισμός ήταν αναπόφευκτος, καθώς ήταν μάλλον ένα πολιτιστικό φαινόμενο από μόνο του.

Ο Novalis έγραψε μια σειρά από επιστολές εκθέτοντας τις απόψεις του για τα Μαθηματικά, εστιάζοντας ιδιαίτερα όχι στο μαθηματικό περιεχόμενο αυτό καθαυτό, αλλά στη μεθοδολογία του. Παρατηρεί: Η μαθηματική μέθοδος είναι η ουσία των Μαθηματικών. Αυτός που κατανοεί πλήρως τη μέθοδο είναι μαθηματικός. Και ομοίως: Τα καθαρά Μαθηματικά δεν ασχολούνται με τα μεγέθη. Είναι απλώς το δόγμα της σημειολογίας των σχετικά διαταγμένων λειτουργιών της σκέψης που έχουν γίνει μηχανιστικές. Δηλαδή, τα Μαθηματικά αφορούν λιγότερο τη μηχανιστική πλευρά τους, όπως η μέτρηση, και περισσότερο ένα σύστημα διαδικασιών σκέψης. Αυτή η κατανόηση των Μαθηματικών  περιγράφει μια πτυχή τους που βρίσκεται πίσω από την έλξη των ποιητών στο θέμα: η αντιληπτή σαφήνεια της μεθόδου τους.

Ο Martin Dyck, καθηγητής γερμανικών που σπούδασε Μαθηματικά, το 1960 έγραψε μια μελέτη για το μαθηματικό περιεχόμενο στη γραφή του Novalis, εκτιμώντας το σε περίπου πέντε τοις εκατό (5%). Αυτό το ποσοστό του πέντε τοις εκατό αναφέρεται σε σαφή μαθηματικά καλολογικά στοιχεία ή αναφορές και όχι αόριστα σε έναν ‘μαθηματικό’ τόνο. Παρατηρώντας τα χαμηλά επίπεδα γενικής μαθηματικής εκπαίδευσης που ήταν διαθέσιμα στους λογοτεχνικούς μελετητές εκείνη την εποχή, ο Dyck αξιολογεί τις προσπάθειες του ίδιου του Novalis να βελτιώσει τις μαθηματικές του γνώσεις, βασίζοντας αυτή την αξιολόγηση σε χειρόγραφους σχολιασμούς και αναφορές σε διάφορα χειρόγραφα που χρησιμοποιούνται από τον Novalis και τη φύση των φιλοσοφικών και μαθηματικών κειμένων στην προσωπική βιβλιοθήκη του.

Ο Dyck περιγράφει συνοπτικά την κατάσταση στα Μαθηματικά την εποχή του Novalis στα πεδία της Γεωμετρίας, της Αριθμητικής, της Άλγεβρας, των Αριθμών, των βασικών Πράξεων, του Απειροστικού Λογισμού, της Συνάρτησης, της συνέχειας και του Απείρου. Λαμβάνει υπόψη τα σχόλια του ίδιου του Novalis και προσφέρει μια εκτίμηση για τις μαθηματικές γνώσεις του, την ανάγνωση βασικών μαθηματικών συμβόλων και τύπων και την πιθανή κατανόησή του για έννοιες όπως «ορισμός», «αξίωμα», «θεώρημα» και «απόδειξη».

Ο Dyck συμπεραίνει ότι ο Novalis είχε μια σωστή, αν όχι ειδική, γνώση, η οποία του επέτρεψε να υποστηρίξει ότι τα Μαθηματικά καταδεικνύουν την υπεροχή του πνευματικού έναντι του φυσικού κόσμου και να ισχυριστεί ότι μόνο οι μαθηματικοί μπορούσαν να επιδείξουν ένα αληθινό επιστημονικό πνεύμα σύμφωνα με τις εγκυκλοπαιδικές αρχές της τάξης. Έβλεπε στα Μαθηματικά την ευκαιρία να βρεθεί μια κατευθυντήρια αρχή για το σύμπαν και θεώρησε τη γραμματική, τον συμβολισμό και τη λογική ως σημεία σύνδεσης μεταξύ των Μαθηματικών και της γλώσσας. Φαίνεται ότι όχι μόνο ο Novalis βασίστηκε στα Μαθηματικά, αλλά ότι με τη σειρά του επηρέασε μαθηματικούς· ιδιαίτερα τον αριθμοθεωρητικό Carl Jacobi, στην αναζήτησή του για μια καθολική αρχή στα Μαθηματικά και την επιστήμη. Αυτή είναι μια ενδιαφέρουσα άποψη  που αγγίζει την ‘Ars Combinatoria Universalis’.

Ο μαθηματικός Mihai Brescan συζητά εν συντομία τον Novalis στο άρθρο του το  2009, “Mathematics and Art”, και παρατηρεί την ιδιαίτερη έμφαση που δίνει ο Novalis στην «Άλγεβρα» και τη «δομή», παραθέτοντας από τον «Ύμνο στα Μαθηματικά»: Τα Μαθηματικά είναι Ποίηση. Ο μαθηματικός είναι, επομένως, ένας ποιητικός φιλόσοφος που στοχάζεται τον νου ως ένα ξεχωριστό σύμπαν. Η Άλγεβρα και η δομή συμβολίζουν τα πνευματικά χαρακτηριστικά της ποίησης. Και πάλι, ο Novalis αναφέρεται στην ευρεία φύση των Μαθηματικών, παρά στο συγκεκριμένο περιεχόμενο καθαυτό, και αυτό είναι το αφηρημένο χαρακτηριστικό που παρομοιάζει με την Ποίηση.

Το άρθρο του Brescan συζητά επίσης διάφορους ποιητές, ιδιαίτερα εκείνους της γαλλικής συμβολιστικής παράδοσης: ο Paul Valéry και ο Maurice Maeterlinck, και οι δύο έδειξαν έντονο ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά. Ο Valéry ήταν ιδιαίτερα ενθουσιασμένος με την ‘ομορφιά’ της Γεωμετρίας και περιέγραψε την Ποίηση ως ‘αληθινά Μαθηματικά’. Ο Baudelaire, επίσης, παρατήρησε κάποτε ότι η μεταφορά «ισούται με την μαθηματική ακρίβεια». Παραθέτει επίσης την αναφορά του Edgar Allan Poe: «Κάθε ποίημα είναι ένα θεώρημα και οι στίχοι του είναι η απόδειξή του»

2. Mallarmé

Κεντρικό πρόσωπο του ποιητικού Συμβολισμού και μοντερνισμού είναι ο Stéphane Mallarmé (1842-1898). Όπως ο Novalis, ο Mallarmé εφιστά την προσοχή στη λειτουργία της γλώσσας και βλέπει την ανάγνωση ενός ποιήματος ως μια ατέρμονη διαδικασία. Ειδικότερα, η ασάφεια και η σκοτεινότητα δεν είναι εμπόδια, αλλά μάλλον ουσιαστικά στοιχεία για τη συνεχή εμπειρία της κατανόησης. Στην ποίησή του, ο Mallarmé προτείνει επανειλημμένα μια διαρκώς αποτυχημένη αναζήτηση ενός απρόσιτου ιδεώδους, που αναπαρίσταται σε πολλές εικόνες που έχουν γίνει κλασικές της συμβολιστικής ποίησης: το fleur absente (απόν λουλούδι) σε ένα μπουκέτο και ο λευκός κύκνος σε παγωμένο νερό. Όπως κάθε ποίηση, η υποβλητική της απήχηση αψηφά τη σύνοψη και αυτά είναι χαρακτηριστικά στα οποία εφιστάται ιδιαίτερη προσοχή.

Το 1897, έγραψε το πολυδιαβασμένο Un Coup de dés (Ένα ρίξιμο των ζαριών), έργο που πειραματιζόταν φανερά με τη φόρμα και έκανε πολλαπλές αναφορές στον αριθμό, το μέτρημα και την τύχη. Εδώ επικεντρώνομαι στο έργο του Mallarmé Livre, το οποίο είναι ένα ελάχιστα πραγματωμένο έργο που σχεδίασε ο Mallarmé ως μια μεγάλη θεωρία της αισθητικής για να γραφτεί σε μια ‘γλώσσα των Μαθηματικών’. Σώζεται με τη μορφή ενός συνόλου πρόχειρων σημειώσεων, που αναπαράχθηκαν για πρώτη φορά και κυκλοφόρησαν σε μια κριτική έκδοση το 1957. Ο ίδιος ο Mallarmé περιέγραψε το Livre του ως: Ένα παράξενο μικρό βιβλίο, πολύ μυστηριώδες, πολύ αποσταγμένο και συνοπτικό —αυτό σε μέρη που θα μπορούσαν να προκαλέσουν ενθουσιασμό (μελέτη Montesquieu). Σε άλλα, η μεγάλη και μακρά περίοδος του Ντεκάρτ. Μετά, γενικά, λίγος La Bruyère και λίγος Fénelon με έναν υπαινιγμό του Baudelaire. Τέλος, μερικά από μένα —και κάποια μαθηματική γλώσσα.

Αυτό που εννοούσε ο Mallarmé με μια μαθηματική γλώσσα δεν είναι ξεκάθαρο. Θεωρούσε ότι η μαθηματική γραφή είναι μια ύστατη μορφή, που περιλάμβανε τόσο την καθολικότητα όσο και τη βεβαιότητα. Το ίδιο το χειρόγραφο παρουσιάζει μόνο πολύ περιορισμένους και στοιχειώδεις αριθμητικούς υπολογισμούς, σύμφωνα με τη γραμμή μέτρησης (άξονα), των αριθμών σελίδων. Ωστόσο, η ‘μαθηματική’ προσέγγισή του έχει προσελκύσει σημαντική επιστημονική προσοχή, αν και –όπως αποδεικνύεται– με ελάχιστη συγκεκριμένη ανάλυση του πόσο μαθηματική ήταν πραγματικά.

Ο Roger Pearson αναφέρει τον ‘βαθύ λογισμό’ που ήθελε ο Mallarmé, σημειώνοντας ότι ποτέ δεν εξηγήθηκε πλήρως· τελικά το Livre δεν προοριζόταν ποτέ να τελειώσει, και ήταν απλώς ένα άπιαστο ιδανικό. Ο Pearson εμφανίζει την καταμέτρηση και ορισμένες επιστημονικές αναφορές στο Livre ως μαθηματικές. Η σύγχρονη μεταμοντέρνα ερμηνεία του Mallarmé, ως η ανακάλυψη μιας βαθιάς απουσίας στο κέντρο του λογοκεντρικού κόσμου, απορρίπτεται από τον Pearson και αντ’ αυτού συζητά ζητήματα γύρω από τις αρμονίες και τις σχέσεις, ιδιαίτερα με αναφορά στη  μουσική και τα Μαθηματικά. Επίσης, δίνει  προσοχή στα ‘Μαθηματικά’ του Livre του Mallarmé, αλλά επικεντρώνεται σε στοιχειώδεις αριθμητικούς υπολογισμούς αριθμών σελίδων ή τον αριθμό των θέσεων σε μια παράσταση θεάτρου.

Η Barbara Johnson περιγράφει τα χειρόγραφα φύλλα ως υπολογισμούς αριθμού σελίδων ή θέσεων σε ένα θέατρο και σχολιάζει ότι οι λίγες σελίδες αυτής της συλλογής είναι πιθανώς πιο ελλιπείς και απροσδιόριστες από ό,τι ήθελε ο Mallarmé. Προσθέτει, ωστόσο, ότι αυτό τού είναι πρόσφορο και αποτελεί μέρος του έργου του. Σχετικά με τις δυνατότητες της σελιδοποίησης, παραθέτει στη συνέχεια από ένα βιβλίο του Verlaine: ο ίδιος ο ρυθμός του βιβλίου, που έχει γίνει απρόσωπος και ζωντανός μέχρι τη σελιδοποίησή του, αντιπαρατίθεται στις εξισώσεις αυτού του ονείρου ή της Ωδής. Υποδηλώνει ο Mallarmé ότι τα ‘Μαθηματικά’ είναι απρόσωπα, αν και με τη δική τους ζωή; Είναι δύσκολο να πούμε. Ο Mallarmé φθάνει ξεκάθαρα σε κάτι στα Μαθηματικά, αλλά θεωρώ ότι κολλάει μόνο στη μέτρηση.

 Ο Umberto Eco βλέπει επίσης περίπλοκη μαθηματική αναφορά στο Livre, σημειώνοντας ότι η Συμβολιστική περίοδος του τέλους του δέκατου ένατου αιώνα ήταν όταν το ‘ανοιχτό’ έργο εμφανίστηκε συνειδητά στην ποιητική, με πρόθεση να ανοίξει το έργο στην ανταπόκριση του αναγνώστη. Ο Eco σχολιάζει ότι το Livre του Mallarmé προοριζόταν να είναι η πεμπτουσία της ποιητικής παραγωγής με αυτή την έννοια, πολυδιάστατη και αποδομημένη, και ότι αυτό προφανώς υποδηλώνει το σύγχρονο σύμπαν των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών. Ο Eco καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η συμβολιστική ποιητική έχει συγκεκριμένους τόνους, σύγχρονη επιστημονική σκέψη, και συνεχίζει να κάνει παραλληλισμούς μεταξύ ποιητικής και Πλειότιμων Λογικών και απροσδιοριστίας, συμπεριλαμβανομένης της απροσδιοριστίας και των ασυνεχειών της Κβαντικής Φυσικής, των πολλαπλών πιθανοτήτων ως πεδίου σχέσεων με την έννοια του Αϊνστάιν και την απειρία των όψεων. Πιο συγκεκριμένα, παραθέτει ευθέως τον Mallarmé: Το να ονομάσεις ένα αντικείμενο σημαίνει να καταπιέζεις τα τρία τέταρτα της απόλαυσης του ποιήματος, που προέρχεται από την ευχαρίστηση να μαντεύεις σιγά σιγά: να το προτείνεις: αυτό είναι το όνειρο. Είναι η τέλεια χρήση αυτού του μυστηρίου που είναι το σύμβολο: να προκαλείς σιγά σιγά ένα αντικείμενο για να δείξεις μια κατάσταση του νου, ή, εναλλακτικά, να επιλέξεις ένα αντικείμενο και να πάρεις από αυτό μια κατάσταση του νου, μέσω μιας σειράς αποκωδικοποιήσεων.

Αυτό το θέμα τού να προτείνεις, σε αντίθεση με τη ρητή δήλωση, είναι κεντρικό για τον Mallarmé. Αυτό που δεν έχουν διατυπώσει όλες αυτές οι εκτιμήσεις, ωστόσο, είναι η φύση των Μαθηματικών που ήδη υπαινίσσεται ο Novalis –η δομή, η αισθητική και η γενικευμένη μέθοδος– και όχι απλώς η άθροιση των αριθμών των σελίδων σε ένα βιβλίο. Ωστόσο, η ποίηση του Mallarmé είναι όμορφη και το να περιορίζει τη σχέση του με τα Μαθηματικά στη βασική Αριθμητική είναι κακό.

3. Valéry

Ένας από τους μεγάλους θαυμαστές του Mallarmé είναι ο ποιητής Paul Valéry (1871-1945), ο οποίος το 1891 του γράφει: Η Ποίηση μου φαίνεται σαν μια λεπτή, όμορφη εξήγηση του κόσμου. Ενώ η μεταφυσική τέχνη βλέπει το σύμπαν ως κατασκευασμένο από καθαρές και απόλυτες ιδέες, και η ζωγραφική το βλέπει με όρους χρωματισμών, η ποιητική τέχνη συνίσταται στο να το θεωρεί ντυμένο με συλλαβές, οργανωμένες σε προτάσεις. Στην οποία ο Mallarmé απαντά: Ναι, Αγαπητέ μου ποιητή, για να κατανοήσει κάποιος τη λογοτεχνία και να έχει λόγο, πρέπει να φτάσει σε αυτήν την ‘υψηλή συμφωνία’ που, ίσως, κανείς δεν θα δημιουργήσει, αλλά έχει στοιχειώσει ακόμη και τους λιγότερο συνειδητοποιημένους από εμάς και τα κύρια χαρακτηριστικά της, χυδαία ή λεπτοφυή, σφραγίζουν κάθε γραπτό έργο.

‘Μια όμορφη εξήγηση του κόσμου’, ‘μια κατασκευή καθαρών και απόλυτων ιδεών’ και μια ‘υψηλή συμφωνία’ είναι όλα χαρακτηριστικά των Μαθηματικών, ιδιαίτερα στη σύγχρονη αφηρημένη μορφή τους. Σε αυτή την αλληλογραφία με τον Valéry, ο Mallarmé αναφέρεται στο Livre του, περιγράφοντάς το ως: αρχιτεκτονικό και προμελετημένο, και όχι μια συλλογή τυχαίων εμπνεύσεων, όσο θαυμάσια και αν είναι, το κατεξοχήν λογοτεχνικό παιχνίδι. Αυτό είναι που αρέσει στον Mallarmé και είναι μεταφράσιμο στη λογοτεχνία, είναι οι προγραμματισμένες και διαταγμένες δομικές ιδιότητες των Μαθηματικών. Ο ίδιος ο Valéry έλκεται πολύ από τα Μαθηματικά. Βασιζόμενος σε μια κατά Mallarme ποιητική της πρότασης, και την ένωση νοήματος και μορφής, ο Valéry ανέπτυξε βαθύ ενδιαφέρον για τον ανθρώπινο νου και τον ρόλο της επιστήμης και των Μαθηματικών παράλληλα με την Ποίηση και τη φιλοσοφία, και εξέφρασε μεγάλο θαυμασμό για τον Poincaré, τον Lord Kelvin και τον Descartes.

Η σκέψη του από αυτή την άποψη είναι πιο εμφανής στα τριάντα περίπου προσωπικά του σημειωματάρια που εκδόθηκαν για πρώτη φορά στα τέλη της δεκαετίας του 1950. Η Γαλλίδα φιλόλογος του Cambridge Judith Robinson δημοσιεύει μια λεπτομερή μελέτη του περιεχομένου των Μαθηματικών και της Φυσικής αυτών των σημειωματάριων το 1960. Παρατηρώντας ότι ‘τα επιτεύγματα και οι μέθοδοι’ των Μαθηματικών ήταν κεντρικά στη σκέψη του Valéry, υποστηρίζει ότι διάβαζε προχωρημένα Μαθηματικά με μεγάλη λεπτομέρεια, συμπεριλαμβανομένων των έργων των Riemann και Gauss, Θεωρία Ομάδων, Θεωρία Συνόλων, Τοπολογία και n-διάστατη Γεωμετρία. Σημειώνει επιπλέον ότι ο Valéry γνώρισε επίσης έναν αριθμό σύγχρονων μαθηματικών προσωπικά και είχε πολύ καλή κατανόηση των θεμελιωδών σημασιών και της ευρείας σημασίας των τομέων της δουλειάς τους. Αυτή η εκτίμηση επιβεβαιώνεται από τους Γάλλους μαθηματικούς Paul Montel και Edmond Bauer.

Η Robinson σημειώνει ότι αυτό που θαύμαζε ο Valéry στα Μαθηματικά ήταν η ακρίβεια και η αυστηρότητα της γλώσσας τους και ένιωθε ότι έδινε μια λύση στα προβλήματα της συνηθισμένης γλώσσας που ήταν εμποτισμένη με πάρα πολλούς ασαφείς και τυχαίους συνειρμούς και πολλαπλότητα νοήματος. Ο Valéry ασχολήθηκε ιδιαίτερα με τα σύμβολα στη μαθηματική γλώσσα, με τη σύγχρονη Λογική –ιδιαίτερα αυτή των Russell και Whitehead– την απαίτηση στα Μαθηματικά για το κάθε σύμβολο να ορίζεται επακριβώς και την έμφαση στη σχέση μεταξύ των αντικειμένων, που εκφράζεται με λογικό και συνεκτικό τρόπο. Για τον Valéry, τα Μαθηματικά δεν ήταν «μια επιστήμη των ποσοτήτων αλλά μια επιστήμη των αφηρημένων σχέσεων» και αφορούσαν έννοιες που είναι «non numerables mais combinables».

Ο Valéry περιγράφει επίσης τον θαυμασμό του για την ευελιξία στην προοπτική που θεωρεί ιδιαίτερα εγγενή στη μετάβαση από τις Ευκλείδειες σε μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και τις σχετικές εξελίξεις στη σχετικότητα, ιδιαίτερα το έργο των Riemann και Minkowski. Ο Valéry έδειξε επίσης σημαντικό ενδιαφέρον για τη Θεωρία Ομάδων, και ειδικότερα την ιδιότητα της ‘αναλλοίωτης’ σε μια ομάδα, όπου οι μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τη συνολική φύση ή τα μέλη του δεδομένου συστήματος. Αντιπαραβάλλει αυτή την αναλλοίωτη σχέση με το σχετικιστικό έργο του Λόρεντς και του Αϊνστάιν, όπου πολλά πράγματα είναι, αντίθετα, σχετικά. Η  Robinson καταλήγει στο συμπέρασμα ότι ενώ ο Valéry απλοποίησε υπερβολικά τις μαθηματικές και επιστημονικές έννοιες και είχε μια εξιδανικευμένη άποψη γι’ αυτές, εντούτοις είχε πολύ καλή κατανόηση ορισμένων από τις πολυπλοκότητές τους, και συγκεκριμένα θεώρησε ότι η ‘αδιαμφισβήτητη σημειολογία’ ήταν κεντρικής σημασίας για την επίλυση διανοητικών προβλημάτων.

Ο μαθηματικός Philip Davis συμφωνεί με την εκτίμηση της Robinson για την πολυπλοκότητα της κατανόησης και της έκθεσης του Valéry στα Μαθηματικά, τονίζοντας ότι ο Valéry ήταν φορμαλιστής, και ελκύονταν από τα Μαθηματικά για τη ‘λογική και συνεκτική’ σχέση των όρων μεταξύ τους. Αποκαλώντας τα Μαθηματικά το ‘όπιό του’, ο Valéry ονειρευόταν μια Άλγεβρα de l‘esprit ή arithmetica universalis και είχε πραγματικό πάθος τόσο για την Ποίηση όσο και για τα Μαθηματικά. Ο Davis καταλήγει, ωστόσο, ότι η ‘γέφυρα’ που κατασκεύασε ο Valéry μεταξύ των δύο ήταν πολύ προσωπική και είναι δύσκολο να μεταδοθεί στους αναγνώστες. Να σημειώσουμε ότι και ο μαθηματικός-ποιητής Barbilian/ Barbu επίσης θεωρούσε τα Μαθηματικά ως το ‘όπιό του’.

 Τελειώνοντας το άρθρο, παραθέτω το ποίημα του Mallarme “Ο Αριθμός”:

Πηγές Πληροφορίας

Kempthorne, Loveday Jane Anastasia. Relations between Modern Mathematics and Poetry: Czesław Miłosz; Zbigniew Herbert; Ion Barbu/ Dan Barbilian. PhD thesis, Victoria University of Wellington, 2015.

Davis, Philip J. “Bridging the Two Cultures: Paul Valery.” In The Best Writing on Mathematics 2010, edited by Mircea Pitici, 93–98. Princeton: Princeton University Press, 2011.

Eco, Umberto. “The Poetics of the Open Work: From The Role of the Reader.” In Contemplating Music: Source Readings in the Aesthetics of Music, edited by Ruth Katz and Carl Dahlhaus, translated by Bruce Merry. Aesthetics in Music. New York: Pendragon Press, 1987.

Robinson, Judith. “Language, Physics and Mathematics in Valery’s Cahiers.” The Modern Language Review 55, no. 4 (October 1, 1960): 519–36.