Η τελική εμπειρική ανακάλυψη του γεγονότος ότι υπάρχει και ψυχική πραγματικότητα πέρα από τη συνείδηση, η οποία καλείται ασυνείδητο, γίνεται αρχικά από τους Freud και Jung. Υπάρχει όμως και τρίτη ανεξάρτητη ανακάλυψη του ασυνειδήτου από τον μαθηματικό Poincare, ο οποίος το βρήκε στον εαυτό του διαμέσου προσωπικής εμπειρίας.

 Ο Poincaré περιγράφει πώς δούλευε για εβδομάδες ένα πρόβλημα, που αφορούσε αυτό που σήμερα ονομάζουμε αυτόμορφες συναρτήσεις, αλλά δεν μπορούσε να βρει τη λύση και τότε διαισθητικά συνέλαβε τη λύση στο πρόβλημα μέσα σε ένα όραμα που είχε σε μια μισοκοιμισμένη/ μισοάγρυπνη κατάσταση. Ένα βράδυ, ενώ ήταν πολύ κουρασμένος, ήπιε καφέ και μετά δεν μπορούσε να κοιμηθεί και ξαφνικά είδε να συγκρούονται μέσα του συγκεκριμένες μαθηματικές παραστάσεις, μέχρις ότου μερικές από αυτές έφτασαν σε ένα σταθερό συνδυασμό και έτσι ανακάλυψε τις αυτόμορφες συναρτήσεις. Όπως το περιγράφει ο ίδιος, είδε πώς ιδέες και συνδυασμοί πετούσαν σαν άτομα στον χώρο, συνδυάζονταν και αποσυνδέονταν ξανά και ξαφνικά έφτιαξαν τη σωστή σύνδεση και είδε όλη τη λύση με μια λάμψη! Σηκώθηκε, αλλά του πήρε πάνω από μισή ώρα να αναπτύξει τη σειρά της απόδειξης και να τη γράψει. Ο συνειδητός νους χρειάστηκε μισή ώρα για να βάλει το ένα επιχείρημα μετά το άλλο: από αυτό έπεται αυτό και από αυτό έπεται το άλλο, μέχρι που τελικά είχε την απόδειξη που τον έκανε διάσημο στον κόσμο των Μαθηματικών -αλλά την είδε με μια λάμψη.

Φαίνεται πως στην περίπτωση αυτή παραστάθηκε ο ίδιος μάρτυρας στην ασυνείδητη διεργασία του, η οποία έγινε αντιληπτή από την τεταμένη λόγω αγρύπνιας συνείδησή του. Υπάρχουν λοιπόν φορές που το ασυνείδητο δεν ακολουθεί την τάξη της συνείδησης, για παράδειγμα, ο τρόπος με τον οποίο συγκεκριμένοι μαθηματικοί ανακαλύπτουν τις θεωρίες τους. Από αυτό το γεγονός ο Poincaré συμπέρανε ότι πρέπει να υπάρχει στον άνθρωπο μια δεύτερη ασυνείδητη προσωπικότητα η οποία, για μεγάλη του έκπληξη, είναι ικανή να φτάσει σε σωστές μαθηματικές αποφάσεις.

 Η σύγχρονη διεπιστημονική έρευνα διατείνεται ότι οι συνειδητές μας αναπαραστάσεις, πριν καν τις συνειδητοποιήσουμε, είναι ήδη ταξινομημένες σύμφωνα με κάποια διάταξη. Ο Gauss δίνει ένα παράδειγμα για μια τέτοια ασυνείδητη ταξινόμηση εννοιών. Λέει ότι ανακάλυψε ένα νόμο της Θεωρίας Αριθμών «όχι έπειτα από κοπιαστικές έρευνες, αλλά, ας πούμε, με τη χάρη του Θεού. Το πρόβλημα λύθηκε μόνο του, αστραπιαία, δίχως να μπορέσω να πω ή να αποδείξω τον σύνδεσμο που υπάρχει ανάμεσα σε εκείνο που γνώριζα ήδη, τα στοιχεία από την τελευταία μου έρευνα, και σε εκείνο που απέφερε την τελική επιτυχία».

 Με αυτά τα παραδείγματα αντιλαμβανόμαστε τι είναι εκείνο που διακρίνει τους δυο μηχανισμούς ή τις δυο μεθόδους λειτουργίας των δυο υποσυστημάτων του συστήματος_της_ψυχής και του ανθρώπινου ψυχισμού, δηλαδή αυτές του συνειδητού και του ασυνειδήτου. Στο πρώτο έχουμε μια βήμα – βήμα, κοπιαστική έρευνα και λογική επεξεργασία δεδομένων, διαδικασία της οποίας έχουμε συνείδηση και την ελέγχουμε βουλητικά, ενώ στο δεύτερο μια δια του ασυνειδήτου γνώση, δηλαδή διαισθητική, ως αποτέλεσμα αστραπιαίας σύλληψης της γνώσης, αλματική και έξω από τη βούληση και τη συνείδησή μας.

 Κατάληξη αυτής της θεώρησης είναι η άποψη για την ενότητα της πραγματικότητας, η οποία ονομάζεται από τον Jung ‘unus mundus’, δηλαδή ο ένας κόσμος, ο ενωτικός και ενοποιημένος. Αυτή η άποψη έχει υιοθετηθεί όχι μόνο από τον Pauli και τον Neumann, αλλά κυρίως από τη σύγχρονη Συστημική, η φιλοσοφία της οποίας είναι ολιστική. Ο Jung άνοιξε τον δρόμο σε αυτή τη συνθετική θεώρηση, επειδή παρατήρησε ότι τα αρχέτυπα και τα ψυχικά περιεχόμενα έχουν και μια πλευρά υλική όταν εκδηλώνονται μέσα από τα γεγονότα, γιατί ένα γεγονός εναρμονίζεται τόσο με τις εξωτερικές όσο και με τις εσωτερικές καταστάσεις. Επομένως, τα αρχέτυπα και τα ψυχικά περιεχόμενα όχι μόνο ενσωματώνονται σε εξωτερικές καταστάσεις, αλλά τείνουν και αυτά να εκδηλωθούν με ταξινομήσεις που περιλαμβάνουν τόσο το σύστημα_της_ψυχής όσο και την ύλη. Δυστυχώς πρέπει πρώτα να αυξήσουμε πολύ τη γνώση μας σε αυτά τα δυο πεδία, της ύλης και της ψυχής, για να μπορέσουμε να καταπιαστούμε με αφηρημένες θεωρίες σε σχέση με αυτά.

Όσον αφορά στον χώρο των Μαθηματικών, αυτός είναι ο πιο γόνιμος για μελλοντική έρευνα, αφού εδώ συναντάμε βασικά αξιώματα, πρώτες ενοράσεις, αρχικές έννοιες, νοητικές συλλήψεις, όπως της άπειρης σειράς αριθμών και του γεωμετρικού συνεχούς, αποσύνδεση από την άμεση υλική πραγματικότητα, όπως στη Μη-ευκλείδεια Γεωμετρία, προβλήματα θεμελίωσης, προβλήματα ύπαρξης των μαθηματικών αντικειμένων, πλαίσια αναφοράς, αλληλεπίδραση μεταξύ συγκεκριμένου και αφηρημένου, θεωρίας και πράξης κτλ. Όπως λέει η Arendt:

 «Με τον ερχομό της σύγχρονης εποχής τα Μαθηματικά δεν διεύρυναν μόνο το περιεχόμενό τους, με το ξάνοιγμά τους στο άπειρο προκειμένου να εφαρμοστούν στην απεραντοσύνη ενός άπειρου σύμπαντος με άπειρες διαστάσεις, μα δεν παύουν να καταπιάνονται και με τα φαινόμενα. Δεν αποτελούν πια μόνο τις πρώτες αρχές της φιλοσοφίας ή την επιστήμη του όντος, μα γίνονται και η επιστήμη της δομής του ανθρώπινου πνεύματος».

Βέβαια, σύμφωνα με τα προηγούμενα, πρέπει να αναρωτηθούμε «ποιου πνεύματος, του συνειδητού ή του ασυνειδήτου;» και από όσα προηγήθηκαν η απάντηση είναι και των δυο. Όπως είδαμε από τις άμεσες διαπιστώσεις των Gauss και Poincare, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι οι παραστάσεις και οι αρχικές έννοιες είναι ταξινομημένες πριν εμείς το συνειδητοποιήσουμε. Ο Van Der Werden, εν προκειμένω, ο οποίος παραθέτει πολλά παραδείγματα στοιχειωδών μαθηματικών ενοράσεων που πηγάζουν από το ασυνείδητο, συμπέρανε ότι: 

«το ασυνείδητο είναι όχι μόνο ικανό να προσλαμβάνει και να συνδυάζει, αλλά και να κρίνει ακόμα. Η κρίση του είναι ενορατική, αλλά τέλεια βέβαιη, όταν το επιτρέπουν οι περιστάσεις».

Ανάμεσα στις πολλές πρώτες μαθηματικές ενοράσεις και a priori ιδέες, οι φυσικοί αριθμοί παρουσιάζουν όχι μόνο ιδιαίτερο μαθηματικό, αλλά και ψυχολογικό ενδιαφέρον. Το ενδιαφέρον αυτό προέρχεται από το γεγονός ότι οι φυσικοί αριθμοί, οι οποίοι δεν ονομάστηκαν τυχαία έτσι, αποτελούν αφενός παράγοντες με εφαρμογή στον εξωτερικό χώρο, (αρίθμηση, μέτρηση, εκτέλεση πράξεων), αφετέρου μέρος της ψυχικής σύστασης του ανθρώπου, (έννοιες αφηρημένες, αρχετυπικές παραστάσεις, ιεροί και μαντικοί κατά τον Πυθαγόρα και τον Πλάτωνα). Οι φυσικοί αριθμοί, λοιπόν, παρουσιάζονται ως σύνδεσμος ανάμεσα στα δυο πεδία της ύλης και της ψυχής, είναι το σημείο στο οποίο συμβάλλουν τα δυο πεδία και γι’ αυτό αποτελούν σύμβολα, όπως ακριβώς και τα υπόλοιπα αρχετυπικά σύμβολα. Το γεγονός ότι ο αριθμός φαίνεται να είναι αρχική και έμφυτη έννοια για τον άνθρωπο, η οποία συνοδεύεται από συγκίνηση, ερμηνεύει ίσως τα λόγια του Gauss:

«Είναι πάντως αξιοπερίεργο ότι όλοι εκείνοι, οι οποίοι μελετούν σοβαρά την επιστήμη της Θεωρίας Αριθμών, κυριεύονται από ένα είδος πάθους γι’ αυτή».

 Επίσης, ο Cantor ομολογεί ότι:

 «Όταν σκέπτομαι και μελετώ το άπειρο ακολουθεί μια γνήσια ηδονή, στην οποία υποκύπτω ευχαρίστως, καθώς βλέπω πώς η έννοια του ακέραιου αριθμού διαχωρίζεται σε δυο έννοιες όταν ανεβαίνουμε στο άπειρο. Η μια είναι η έννοια της ισχύος (πληθάριθμου) και η άλλη η έννοια της αρίθμησης».

Εκτός, όμως, από τις απόψεις των ψυχολόγων και των φυσικών, υπάρχουν και αυτές των μαθηματικών, που μελέτησαν το θέμα. Έτσι, οι Davis & Hersh υποστηρίζουν ότι, αν δεχτούμε την κοινή αντίληψη πως το φυσικό σύμπαν κυβερνιέται από μαθηματικούς νόμους, τότε καταλαβαίνουμε ότι το ίδιο το σύμπαν και όλα μέσα σε αυτό εκτελούν αιώνια μαθηματικούς υπολογισμούς, κάνοντας μαθηματικές πράξεις. Μπορούμε να θεωρήσουμε κάθε σωματίδιο ή κάθε συνάθροιση ως την έδρα κάποιου μαθηματικού δαίμονα, που η δουλειά του είναι να καταδυναστεύει μια ομάδα και να λέει: «Μην ξεχνάτε τον νόμο του αντίστροφου τετραγώνου. Μην ξεχνάτε τις διαφορικές εξισώσεις». Ένας τέτοιος δαίμονας, μπορούσε να ζει και μέσα σε ανθρώπινες υπάρξεις, γιατί και αυτές κάνουν διαρκώς μαθηματικούς υπολογισμούς χωρίς κάποια συνειδητή σκέψη ή προσπάθεια. Κάνουν μαθηματικούς υπολογισμούς, όταν διασχίζουν έναν πολυσύχναστο δρόμο, λύνοντας πολύ δύσκολα μηχανιστικά στατιστικά προβλήματα με ακρότατα. Κάνουν μαθηματικούς υπολογισμούς, όταν τα σώματά τους αντιδρούν διαρκώς σε μεταβατικές συνθήκες και επιζητούν εξισορρόπηση. Ο σπόρος ενός λουλουδιού κάνει μαθηματικούς υπολογισμούς, όταν φτιάχνει πέταλα με εξαπλή συμμετρία.

 Ας αποκαλέσουμε αυτούς τους μαθηματικούς υπολογισμούς, που είναι εγγενείς στο σύμπαν, ασυνείδητα Μαθηματικά. Τα ασυνείδητα Μαθηματικά υπάρχουν πέρα από ό,τι σκεφτόμαστε. Δεν μπορούν να εμποδιστούν ή να σταματήσουν. Είναι φυσικά, αυτόματα. Δεν απαιτούν κάποιον εγκέφαλο ή κάποια ειδική υπολογιστική συσκευή. Δεν απαιτούν διανοητική δύναμη ή προσπάθεια. Κατά κάποιον τρόπο, το λουλούδι ή ο πλανήτης είναι υπολογιστές του εαυτού των.

 Στον αντίποδα των ασυνείδητων Μαθηματικών, μπορούμε να διακρίνουμε τα συνειδητά Μαθηματικά. Αυτά φαίνεται να περιορίζονται στους ανθρώπους και ίσως σε κάποια ανώτερα είδη ζώων. Τα συνειδητά Μαθηματικά είναι αυτά που εννοούμε συνήθως, όταν μιλάμε για Μαθηματικά. Αποκτιούνται κυρίως με ειδική εκπαίδευση και φαίνεται ότι εκτελούνται στον εγκέφαλο. Κάποιος έχει ειδική επίγνωση, αν τα ασκεί ή όχι. Είναι συνυφασμένα με συμβολική και αφηρημένη γλώσσα και βοηθιούνται από μολύβι και χαρτί, μαθηματικά εργαλεία ή εγχειρίδια.

Αλλά τα συνειδητά Μαθηματικά δεν προωθούνται πάντα μέσα από αφηρημένα σύμβολα. Μπορεί να λειτουργούν μέσα από διάφορες αισθήσεις, όπως ‘αριθμητική αίσθηση’, ‘χωρική αίσθηση’ ή ‘κιναισθητική αίσθηση’. Το τι βρίσκεται πίσω από αυτές τις ειδικές αισθήσεις, συχνά δεν είναι διευκρινισμένο. Ακόμη και αν αντιπροσωπεύουν αποθηκευμένες εμπειρίες, λύσεις αναλογικού τύπου που εκτελούνται αμέσως, εμπνευσμένες αλλά εν μέρει τυχαίες υποθέσεις, παρ’ όλα αυτά, το γεγονός παραμένει ότι μπορούμε να φτάσουμε σε αυτό τον τύπο κρίσης γρήγορα και σωστά. Αν και έχουμε συνείδηση του προβλήματος, έχουμε μόνο μερική συνείδηση για τα μέσα με τα οποία θα βρεθεί η λύση. Ο αναστοχασμός αποκαλύπτει συχνά ένα μείγμα από ανεξάρτητες και αλληλο-επικαλυπτόμενες πράξεις. Συνεπώς, δεν υπάρχει κανένας έντονος διαχωρισμός ανάμεσα στο συνειδητό και στον ασυνείδητο μαθηματικό υπολογισμό.

Ο τελευταίος ισχυρισμός, δεν φαίνεται να διεκδικεί με πολλές πιθανότητες τον χαρακτηρισμό του εντελώς ορθού. Όχι μόνο η άποψη του Jung ότι, κατά βάση, τα Μαθηματικά είναι αρχετυπικά και αντίστοιχες ομολογίες, όπως του Poincare, αλλά και η διαπίστωση του Skemp για τη μετα-μάθηση, συνηγορούν γι’ αυτό. Ακόμα και μέσα στην τάξη, ο δάσκαλος μεταφέρει ασυνείδητα τις προσωπικές του πεποιθήσεις στους σπουδαστές και επηρεάζει και διαμορφώνει τις στάσεις τους. Δημιουργείται, επομένως, μάθηση Μαθηματικών σε δυο επίπεδα: στο συνειδητό και στο ασυνείδητο. Αυτή ακριβώς την παράπλευρη μάθηση είναι που ο Skemp ονομάζει μετα-μάθηση. Όσον αφορά στο καθαρά δημιουργικό επίπεδο των Μαθηματικών, τόσο ο Poincare όσο και άλλοι μαθηματικοί, έχουν παραδεχτεί την ύπαρξη του μη-συνειδητού ή του μισο-συνειδητού παράγοντα στη δημιουργία τους.

 Επίσης, ο Hadamard προσπάθησε να βρει πώς σκέφτονταν πραγματικά οι διάσημοι επιστήμονες και μαθηματικοί όταν εργάζονταν. Γι’ αυτούς, με τους οποίους ήρθε σε επαφή σε μια άτυπη έρευνα, έγραψε:

 «Στην πράξη, όλοι τους όχι μόνο αποφεύγουν να χρησιμοποιήσουν νοητικές λέξεις, αλλά αποφεύγουν επίσης και τη νοητική χρήση αλγεβρικών ή ακριβών συγκεκριμένων συμβόλων, χρησιμοποιούν ασαφείς εικόνες. Οι νοητικές εικόνες των μαθηματικών, από τους οποίους πήρα απαντήσεις, είναι πιο συχνά οπτικές, αλλά μπορεί επίσης να είναι και κάποιου άλλου είδους -για παράδειγμα κινητικές».

 Ο Einstein έγραψε στον Hadamard ότι:

 «Οι λέξεις ή η γλώσσα, όπως γράφονται ή λέγονται, δεν φαίνεται να παίζουν κάποιο ρόλο στον μηχανισμό της σκέψης μου. Οι φυσικές οντότητες, που φαίνεται να χρησιμεύουν ως στοιχεία της σκέψης, είναι κάποια σημεία και κάποιες περισσότερο ή λιγότερο καθαρές εικόνες, οι οποίες μπορούν να αναπαραχθούν και να συνδυαστούν ‘εκούσια’. Τα στοιχεία που αναφέρονται πιο πάνω είναι, στην περίπτωσή μου, οπτικά και κάπως μυϊκά. Οι συμβατικές λέξεις ή άλλα σημεία πρέπει να αναζητηθούν με προσπάθεια μόνο σε ένα δεύτερο στάδιο».

 Αρκετές πρόσφατες μελέτες, για τον τρόπο με τον οποίο εκτελούν τις απλές αριθμητικές πράξεις οι ενήλικοι που δεν είναι μαθηματικοί, δείχνουν ότι ισχύει το ίδιο και για τους μη μαθηματικούς.

 Ο Hadamard περιέγραψε το μισο-συνειδητό ρεύμα σκέψης, που μπορεί να συνοδεύει τη διαδικασία του συνειδητού μαθηματικού συλλογισμού. Αυτό το είδος σκέψης  υπάρχει σίγουρα, αν και είναι πολύ δύσκολο να περιγραφεί και να τεκμηριωθεί. Το μισο-συνειδητό ρεύμα σκέψης, το οποίο μπορούμε να αναφέρουμε ως μαθηματική φαντασία, δεν φαίνεται να σχετίζεται άμεσα με το αναλυτικό έργο που επιχειρούμε ως μαθηματικοί. Φαίνεται να είναι πιο αναλογικό, σχεδόν οπτικό, μερικές φορές ακόμη και μουσικό. Συνοδεύει και περιστασιακά βοηθά το κύριο ρεύμα της σκέψης. Συχνά φαίνεται άσχετο με το κύριο αντικείμενο, κάτι που αιωρείται στο βάθος, ένα δεύτερο ρεύμα σκέψης.

Πηγές Πληροφορίας

• Arendt, H. (1958). The Human Condition. Univ. of Chicago Press, Chicago, Ill.

• Davis, P. J. & Hersh, R. (1984). The Mathematical Experience. Penguin Books.

• Dottori, D., Knill, G. & Stewart, J. (1979). Foundations of Mathematics for Tomorrow (Senior). McGrow-Hill, Ryerson Ltd.

• Franz, M.-L. von (1964). Science and the Unconscious. Στο Jung, C. G. (Ed.), Man and His Symbols. Aldus Books, London.

• Franz, M.-L. von (1974). Number and Time. Rider, London.

• Franz, M.- L. von (1992). Psyche and Matter. Shambhala, Boston & London.

• Hadamard, J. (1995). Η Ψυχολογία της Επινόησης στα Μαθηματικά. Κάτοπτρο, Αθήνα.

• Jung, C. G. (1957-1976). The Collected Works. Princeton Univ. Press, Princeton NJ., 20 vols.

• Jung, C. G. (Ed.) (1964). Man and His Symbols. Aldus Books, London.

• Pauli, W. (1961). Aufsatze und Vortage uber Physik und Erkenntnis- Theorie. Verlag Vieweg, Brunswick.

• Poincare, H. (1952). Science and Hypothesis. Dover Publications, NY.

• Poincare, H. (1997). Η Αξία της Επιστήμης. Κάτοπτρο, Αθήνα.

• Rucker, (1988). Mind Tools-The Mathematics of Information. Penguin Books, NY.

• Skemp, R. (1986). The Psychology of Learning Mathematics. Penguin Books, London.

• Τahta, (Ed.) (1993). Special Issue on Psychodynamics in Mathematics Education. For the Learning of Mathematics, 13(1).

• Van Der Werden, B. L. (1954). Einfall und Ueberlung: Drei kleine Beitrage zur Psychologie des Mathematischen Denkens.