Εισαγωγικό Σημείωμα

Ο στρουκτουραλισμός/ δομισμός είναι κίνημα που ξεκινάει στη Γαλλία στα ’50 και εμφανίζεται πρώτη φορά με το έργο του ανθρωπολόγου Levi-Strauss και του λογοτεχνικού κριτικού Barthes, όμως οι ρίζες του βρίσκονται στον στοχασμό του γλωσσολόγου de Saussure. Βασίζεται στην ιδέα πως δεν μπορούμε να αντιληφθούμε τα πράγματα μεμονωμένα/ απομονωμένα, αλλά πρέπει να τα δούμε στα συμφραζόμενα των ευρύτερων δομών στις οποίες συμμετέχουν –εξ ου και ο όρος ‘δομισμός’. Οι δομές αυτές μας επιβάλλονται από τους τρόπους που αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο και οργανώνουμε την εμπειρία μας και όχι από αντικειμενικές οντότητες που υπάρχουν ήδη δοσμένες στον εξωτερικό κόσμο. Από αυτό προκύπτει ότι το νόημα/ σημασία δεν είναι ένα είδος πυρήνα/ ουσίας μέσα στα πράγματα, αλλά αντίθετα πάντοτε έξω από αυτά. Το νόημα είναι πάντα μια απόδοση των πραγμάτων, κυριολεκτικά, αφού τα νοήματα αποδίδονται στα πράγματα από τον άνθρωπο και δεν περιέχονται εντός τους: το νόημα είναι πάντα το νόημα που αποδίδει ο άνθρωπος στις καταστάσεις και τα πράγματα του κόσμου.        

Συγκεκριμένα, κάθε μεμονωμένο αντικείμενο μπορεί να κατανοηθεί ως δείγμα ενός ιδιαίτερου είδους και το είδος συνδέεται με το δείγμα με τον ίδιο τρόπο που μια φράση συνδέεται με τη γλώσσα ως δομή, με όλους τους κανόνες, τις συμβάσεις κτλ. Μια τέτοια δομιστική προσέγγιση του αντικειμένου μας απομακρύνει από αυτό προς ευρύτερα και αφηρημένα ζητήματα, αντί να μας φέρνει όλο και πιο κοντά του. Αν χρησιμοποιήσουμε την αναλογία της κότας και των αυγών, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε τις εμπεριέχουσες δομές ως κότες και το ατομικό δείγμα–αντικείμενο ως το αυγό. Για τους δομιστές το να προσδιορίσουν με ακρίβεια τη φύση της κότας είναι η πιο σημαντική δραστηριότητα, ενώ για τους άλλους προηγείται η εκ του σύνεγγυς ανάλυση του αυγού. 

Έτσι, στη δομιστική προσέγγιση υπάρχει συνεχής κίνηση απομάκρυνσης από το μεμονωμένο αντικείμενο και παράλληλη τάση προς την κατανόηση των ευρύτερων, αφηρημένων δομών που το περιέχουν, του συστήματος του οποίου αποτελεί μέρος. Αυτές οι δομές είναι συνήθως μάλλον αφηρημένες και όχι τόσο ‘απλά’ συγκεκριμένες. Η αντίθετη τάση υποστηρίζει την εκ του σύνεγγυς μελέτη του αντικειμένου, απομονωμένου από όλες τις ευρύτερες δομές και τα συμφραζόμενα, είναι ‘αντικειμενο-κεντρική’ και τείνει να αποκλείει ευρύτερα ζητήματα, αφηρημένα θέματα και ιδέες. Τελικά, η παραδοσιακή άποψη δεν είδε με πολύ καλό μάτι την πρόταση των δομιστών ότι πρέπει να στρέψει την προσοχή της από τα ανθρωπιστικά αυγά στις δομιστικές κότες.  

Όταν η εργασία του Saussure υιοθετήθηκε από τους δομιστές, η εντύπωσή τους ήταν ότι το μοντέλο τού για το πώς δουλεύει η γλώσσα μπορούσε να μεταφερθεί και να εξηγήσει το πώς δουλεύουν όλα τα νοηματοδοτικά συστήματα. Έτσι, ο ανθρωπολόγος Levi-Strauss εφάρμοσε τη δομιστική θεωρία στην ερμηνεία του μύθου, ο λογοτεχνικός κριτικός Barthes την εφάρμοσε στο γενικό πεδίο της σύγχρονης κουλτούρας. Ακολούθησαν την τυπική δομιστική διαδικασία κατά την οποία περνάμε από το ειδικό στο γενικό τοποθετώντας το ατομικό μέσα σε ευρύτερα δομικά συμφραζόμενα. Μετά από αυτά δεν φαίνεται παράξενο που ο δομισμός εφαρμόστηκε και στα Μαθηματικά, με αρχικό βασικό εργαλείο φορμαλισμού την έννοια ‘είδη δομών’ όπως αυτή περιγράφεται στους Bourbaki.    

Μαθηματικός Στρουκτουραλισμός/ Δομισμός

Μαθηματικός στρουκτουραλισμός (δομισμός) είναι η άποψη ότι το αντικείμενο κάθε κλάδου των Μαθηματικών είναι μια δομή ή κάποιες δομές. Σύμφωνα με αυτό, τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη της δομής. Ας ορίσουμε ένα ‘σύστημα φυσικών αριθμών’ ως μια αριθμήσιμα άπειρη συλλογή αντικειμένων με ένα καθορισμένο πρωταρχικό αντικείμενο και μια σχέση διαδοχής που ικανοποιεί την Αρχή της (μαθηματικής) Επαγωγής. Παράδειγμα τέτοιων συστημάτων είναι οι αραβικοί αριθμοί και η άπειρη ακολουθία διακριτών στιγμών του χρόνου. Σύμφωνα με τον δομισμό, η Αριθμητική αφορά στη μορφή ή στη δομή που είναι κοινή στα συστήματα φυσικών αριθμών. Συνεπώς, ένας φυσικός αριθμός είναι κάτι όπως μια θέση μέσα σε ένα οργανισμό ή ένα πρότυπο. Όμοια, η Πραγματική Ανάλυση αφορά στη δομή των πραγματικών αριθμών, στη μορφή που είναι κοινή στα πλήρως διαταγμένα πεδία. Τα θέματα που αφορούν στον δομισμό αναφέρονται στη φύση των δομών και των θέσεών τους. Επειδή μια δομή είναι μία επί πολλών ειδών, μοιάζει με ένα καθολικό. Οι δομιστές έχουν υπερασπιστεί θέσεις ανάλογες με κάποιες από τις παραδοσιακές θέσεις για τα καθολικά, όπως ο ρεαλισμός και ο νομιναλισμός. Ο στρουκτουραλισμός, ως φιλοσοφία των Μαθηματικών, προκύπτει από τις εξελίξεις στη Λογική και τα Μαθηματικά στις αρχές του 20^ου αιώνα. Οι κύριοι σύγχρονοι υπερασπιστές του είναι οι Benacerraf, Hellman, Resnik και Shapiro. Σύνθημά τους, όπως πάντα: ‘Τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη της δομής’.

Ένας τρόπος να κατανοηθεί μια συγκεκριμένη μορφή είναι μέσω μιας διαδικασίας αφαίρεσης. Παρατηρεί κάποιος μερικά συστήματα με τη συγκεκριμένη δομή και εστιάζει την προσοχή του στις σχέσεις μεταξύ των αντικειμένων, αγνοώντας εκείνα τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα των αντικειμένων που δεν είναι σχετικά με αυτές τις σχέσεις. Για παράδειγμα, κάποιος μπορεί να καταλάβει μια άμυνα στο μπάσκετ με την παρακολούθηση μερικών παιχνιδιών και με τη σημείωση των χωρικών σχέσεων και των ρόλων μεταξύ των παικτών της ομάδας χωρίς την μπάλα, αγνοώντας το ύψος ή το χρώμα των παικτών και το ποσοστό ευστοχίας τους ανά τομέα, γιατί αυτά δεν έχουν καμία σχέση με το αμυντικό σύστημα.

Με αυτούς τους όρους, ο στρουκτουραλιστής υποστηρίζει ότι (τα καθαρά) Μαθηματικά είναι η παραγωγική μελέτη των δομών καθαυτών. Το αντικείμενο μελέτης της Αριθμητικής είναι η δομή των φυσικών αριθμών και το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η δομή του ευκλείδειου χώρου. Στα Μαθηματικά, οι δομές μελετώνται ανεξάρτητα από οποιεσδήποτε περιπτώσεις ερμηνείας μπορούν να έχουν αυτές στη μη μαθηματική σφαίρα. Με άλλα λόγια, ο μαθηματικός ενδιαφέρεται για τις εσωτερικές σχέσεις των θέσεων αυτών των δομών.

Φυσικά, μερικά από τα προαναφερθέντα παραδείγματα είναι τόσο απλά για να είναι αντάξια της προσοχής του μαθηματικού. Τι μπορούμε να αποδείξουμε σε σχέση με μια άμυνα στο μπάσκετ; Υπάρχουν, εντούτοις, μη τετριμμένα θεωρήματα για το σκάκι. Για παράδειγμα, δεν είναι δυνατό να κάνει ματ κάποιος με έναν βασιλιά και δύο ίππους όταν ο αντίπαλος έχει μόνο έναν βασιλιά. Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από το υλικό από το οποίο είναι κατασκευασμένα τα πιόνια του σκακιού, ανεξάρτητα ακόμα και από το αν το σκάκι ως παιχνίδι έχει παιχτεί ή όχι. Αυτό το γεγονός για το σκάκι είναι περισσότερο ή λιγότερο τυπικό μαθηματικό θεώρημα για συγκεκριμένη δομή. Εδώ, είναι η δομή ενός συγκεκριμένου παιχνιδιού.

Υπάρχουν δύο ερωτήσεις που σχετίζονται με την οντολογία του στρουκτουραλισμού. Η πρώτη αφορά στην κατάσταση των δομών αυτών καθαυτών. Ποια είναι η δομή των φυσικών αριθμών, η δομή των πραγματικών αριθμών κλπ.; Υπάρχουν οι δομές ως αντικείμενα καθαυτές; Τι γίνεται με τις περισσότερο γήινες δομές και μορφές, όπως είναι ένας σχηματισμός στο σκάκι, μια άμυνα καλαθοσφαίρισης, ή μια συμφωνία; Η δεύτερη ομάδα ζητημάτων αφορά στην κατάσταση των μεμονωμένων μαθηματικών αντικειμένων, τις θέσεις δηλαδή μέσα στις δομές. Τι έχει να πει ο στρουκτουραλιστής για τους αριθμούς, τα γεωμετρικά σημεία, τα σύνολα, και τα λοιπά; Φυσικά, αυτά τα ζητήματα σχετίζονται πολύ και τα διαπραγματευόμαστε μαζί.

Για έναν στρουκτουραλιστή, λοιπόν, ένας φυσικός αριθμός είναι μια θέση σε μια ιδιαίτερη άπειρη μορφή ή μοτίβο, τη δομή των φυσικών αριθμών. Αυτό το μοτίβο μπορεί να εξηγηθεί από πολλά διαφορετικά συστήματα, αλλά είναι το ίδιο μοτίβο σε κάθε περίπτωση. Ο στρουκτουραλιστής θεωρεί ότι αυτό το μοτίβο υπάρχει ανεξάρτητα από οποιαδήποτε συστήματα το εξηγούν. Ο αριθμός 2 είναι η δεύτερη θέση σε αυτό το μοτίβο. Οι μεμονωμένοι αριθμοί είναι ανάλογοι με τα ιδιαίτερα γραφεία μέσα σε μια οργάνωση. Βέβαια τίθεται πάλι το ερώτημα πώς έχουμε την έννοια της δεύτερης ή έκτης ή νιοστής θέσης χωρίς να προηγείται η έννοια του αριθμού 2 ή 6 ή ν ως καθοδηγητικό αρχέτυπο/ νοητικό πρότυπο. Εκείνο που πρέπει σήμερα να λογαριάσουμε είναι ότι ο Στρουκτουραλισμός βρίσκεται πολύ κοντά στη Θεωρία Συστημάτων, δηλαδή στη συστημική προσέγγιση. 

Πηγές Πληροφορίας

• Barry, P. (2009). Beginning Theory: An Introduction to Literary and Cultural Theory. Manchester University Press.

• Benacerraf, P. (1965). What Numbers could Not Be. Philosophical Review, 74, 47-73.

• Bourbaki, N. (1986). Theory of Sets. Elements of Mathematics, Hermann, Paris.

• Hellman, G. (1989). Mathematics without Numbers. Oxford University Press, Oxford.

• Resnik, M. (1997). Mathematics as a Science of Patterns. Oxford University Press, Oxford.

• Resnik, M. (1980). Frege and the Philosophy of Mathematics. Cornell University Press, Ithaca, NY.

• Shapiro, S. (1997). Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford University Press, NY.

• Shapiro, S. (2006). Σκέψεις για τα Μαθηματικά: Η Φιλοσοφία των Μαθηματικών.

            [Μετ. Κ. Δρόσος & Δ. Σπανός]. Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών.