Ο Stanislas Dehaene, Γάλλος συγγραφέας και γνωστικός νευροεπιστήμονας, αναρωτιέται ‘Τι είναι αριθμός;’
Ο Dehaene, ως νευροφυσιολόγος που μελετάει πώς ο εγκέφαλος ‘καλωδιώνεται’ για να κάνει Μαθηματικά, δηλαδή πώς είναι βιολογικά δομημένος για αυτό τον σκοπό, απαντάει ότι ο αριθμός είναι μια παράμετρος του φυσικού περιβάλλοντός μας, η οποία είναι αντικείμενο επεξεργασίας και υπολογισμού από εξειδικευμένα εγκεφαλικά δίκτυα, όπως ακριβώς το χρώμα που είναι υποκειμενική ιδιότητα και σχηματίζεται εντελώς από συγκεκριμένη εγκεφαλική περιοχή. Δείχνει επίσης πώς τα ζώα και τα νήπια έχουν ευρεία και έμφυτη αίσθηση για τις αριθμητικές ποσότητες και τις ιδιότητές τους.
Σύγχρονα πειραματικά δεδομένα δείχνουν ότι:
(i) Τα νήπια γεννιούνται με έμφυτους μηχανισμούς για να ξεχωρίζουν αντικείμενα και να υπολογίζουν τον πληθάριθμο μικρών συνόλων.
(ii) Αυτή η ‘αριθμητική αίσθηση’ υπάρχει επίσης στα ζώα και συνεπώς είναι ανεξάρτητη από τη γλώσσα και διαθέτει μακρό εξελικτικό παρελθόν.
(iii) Στα παιδιά ο αριθμητικός υπολογισμός, η σύγκριση, το μέτρημα, η απλή πρόσθεση και αφαίρεση, όλα αναδύονται αυθόρμητα χωρίς πολύ μεγάλη εκπαίδευση.
(iv) Η κατώτερη βρεγματική περιοχή και των δυο εγκεφαλικών ημισφαιρίων φιλοξενεί νευρωνικά δίκτυα εξειδικευμένα στον νοητικό χειρισμό αριθμητικών ποσοτήτων και βλάβη στην περιοχή αυτή οδηγεί στο χάσιμο της πιο στοιχειώδους ‘αριθμητικής αίσθησης’.
Ο Dehaene θεωρεί ότι αυτή η εσωτερική αίσθηση της αριθμητικής ποσότητας εξυπηρετεί ως θεμέλιο για την εκ των υστέρων ‘κατασκευή του αριθμού’ διαμέσου της μαθηματικής αξιωματοποίησης. Επιπλέον, ο αριθμός ως βασική κατηγορία της εμπειρίας που εξασφαλίζεται από ένα εξειδικευμένο εγκεφαλικό κύκλωμα, είναι μη-οριστός όπως το χρώμα, η ευτυχία, η ομορφιά κτλ. καθολικά.
Ο Dehaene συμφωνεί με τον Hersh ότι η πλατωνική άποψη, πως τα μαθηματικά γεγονότα είναι αφηρημένα και ανεξάρτητα από την ανθρώπινη ύπαρξη, δεν είναι υποστηρίξιμη άποψη. Η νευροβιολογική ερμηνεία του είναι ότι ο πλατωνισμός συνιστά γνωσιακή ψευδαίσθηση η οποία επιβάλλεται σε τόσους πολλούς μεγάλους μαθηματικούς, γιατί με τη συνεχή εκπαίδευση ο εγκέφαλός τους αναπτύσσει μια ζωντανή, φαινομενικά πραγματική, εσωτερική εικόνα των μαθηματικών αντικειμένων. Πιθανόν κάποιος να μπορεί να γίνει μαθηματική ευφυία μόνο αν έχει αξιοσημείωτη ικανότητα στο να σχηματίζει ζωντανές νοητικές αναπαραστάσεις των αφηρημένων μαθηματικών αντικειμένων -νοητικές εικόνες που γρήγορα στρέφονται σε ψευδαισθήσεις, οι οποίες επισκιάζουν την ανθρώπινη καταγωγή των μαθηματικών αντικειμένων και τα προικίζουν με την επίφαση της ανεξάρτητης ύπαρξης. Τα Μαθηματικά είναι στην πραγματικότητα προϊόν του ανθρώπινου νου και εγκεφάλου και ως τέτοια είναι μια πολύ τολμηρή ανθρώπινη προσπάθεια, σφαλερή, αναθεωρήσιμη, και εξαρτώμενη από τα όρια και τις ικανότητες των εγκεφαλικών μας εφοδίων. Αυτό σημαίνει ότι τα Μαθηματικά είναι μια καθαρή κοινωνική δραστηριότητα; Το πρόβλημα, με το να χαρακτηρίζουμε τα Μαθηματικά ως ‘κοινωνικά’ ή ‘ανθρωπιστικά’ και να τα συγκρίνουμε με την τέχνη και τη θρησκεία, είναι ότι αυτή η άποψη αποτυγχάνει εντελώς στο να συλλάβει τι είναι τόσο ιδιαίτερο στα Μαθηματικά -πρώτο η καθολικότητά τους και δεύτερο η αποτελεσματικότητά τους.
Σε αντίθεση με έναν θρησκευτικό ηγέτη που αδυνατεί να πείσει τους αλλόθρησκους, ένας μαθηματικός μπορεί σε οποιοδήποτε μέρος του κόσμου να πείσει για τις μαθηματικές αλήθειες, για παράδειγμα, το 3 είναι πρώτος αριθμός, το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του π είναι το 1, το τελευταίο Θεώρημα του Fermat είναι αληθές κτλ. Το ζήτημα είναι ότι καθολική συμφωνία για το τι συνιστά ένα μαθηματικό γεγονός εύκολα επιτυγχάνεται. Αυτό κάνει μια ανεπιφύλακτα σχετικιστική, κοινωνική ή μεταμοντέρνα άποψη των Μαθηματικών μη υπερασπίσιμη. Σε πείσμα όλων αυτών, η τιμή του π δεν διαφέρει από πολιτισμό σε πολιτισμό ούτε κάθε πολιτισμός έχει τη δικιά του διαφορετική ‘μαθηματική παγκοσμιότητα’ που είναι μια και μόνη.
Η άλλη σημαντική διαφορά, μεταξύ Μαθηματικών και των άλλων πολιτισμικών εκφράσεων, είναι η αποτελεσματικότητά τους. Αυτό ήταν και είναι ακόμη θέμα δέους και απορίας για φυσικούς όπως ο Wigner και ο Einstein. Ο δεύτερος ρωτούσε ήδη από το 1921 «πώς είναι δυνατόν τα Μαθηματικά, προϊόν της ανθρώπινης νόησης ανεξάρτητο της εμπειρίας, να ταιριάζουν με τόσο θαυμαστό τρόπο στα αντικείμενα της φυσικής πραγματικότητας;». Αυτό είναι υποχρεωμένο να παραμένει μυστήριο για πάντα όσο εμμένουμε σε μια ισχυρά σχετικιστική θέση, η οποία ισχυρίζεται ότι τα Μαθηματικά είναι το αποτέλεσμα αυθαίρετων πολιτισμικών επιλογών διαφόρων μαθηματικών ‘ομάδων-ιερατείων’. Πράγματι, όσο γι’ αυτό, η αποτελεσματικότητα των Μαθηματικών δεν είναι επίσης εύκολο να εξηγηθεί, αν πιστεύουμε όπως ο Hersh ότι οι μαθηματικοί κάνουν τη δουλειά τους με μοναδικό σκοπό την αφηρημένη ομορφιά των Μαθηματικών.
Η αρχική απάντηση του Dehaene σε αυτά τα δυο βασικά ερωτήματα επικαλείται την εξέλιξη του εγκεφάλου και των Μαθηματικών. Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι καθολικά και αποτελεσματικά γιατί
(i) οι εγκέφαλοί μας έχουν αναπτυχθεί για να εσωτερικεύουν προοδευτικά καθολικές κανονικότητες του εξωτερικού κόσμου, όπως ότι ένα αντικείμενο και άλλο ένα αντικείμενο κάνουν δυο αντικείμενα, και
(ii) οι πολιτισμικές μαθηματικές κατασκευές μας έχουν επίσης εξελιχθεί για να ταιριάζουν στον φυσικό κόσμο.
Αν οι μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο συμφωνούν στο ίδιο σύνολο μαθηματικών αληθειών, αυτό συμβαίνει γιατί όλοι έχουν μια παρόμοια εγκεφαλική οργάνωση η οποία: (α) τους επιτρέπει να κατηγοριοποιούν τον κόσμο σε κατηγορίες από παρεμφερή αντικείμενα, όπως αριθμοί, σύνολα, συναρτήσεις κτλ. (β) τους εξαναγκάζει να βρίσκουν επανειλημμένα τις ίδιες λύσεις στα ίδια προβλήματα. Μπορεί εν προκειμένω να θυμίσει κάποιος την επανανακάλυψη του συστήματος θέσης των αριθμών σε τέσσερις διαφορετικούς πολιτισμούς που απείχαν χωροχρονικά: Κινέζοι, Βαβυλώνιοι, Μάγια και Ινδοί.
Η κατασκευή του εγκεφάλου μας, η οποία είναι κοινή για όλους, μπορεί να εξηγήσει γιατί υπάρχουν διαπολιτισμικές συγκλίσεις στα Μαθηματικά, παρά τις διαφορετικές κοινωνικές συνθήκες. Με αυτή την άποψη, τα μαθηματικά αντικείμενα, ενώ είναι ανθρώπινες κατασκευές, είναι ριζικά διαφορετικά από άλλες πολιτισμικές κατασκευές μέσα στον Δυτικό πολιτισμό και κοινωνία, όπως η θρησκεία, το μυθιστόρημα, η μουσική κτλ. Υπάρχουν πολλά γλωσσικά π, ελληνικό, αμερικάνικο, γαλλικό κτλ., αλλά ευτυχώς πάντα υπάρχει μόνο ένας αριθμός π.
Ο Dehaene ισχυρίζεται επίσης ότι ο αριθμός είναι όπως το χρώμα. Επειδή ζούμε σε έναν κόσμο γεμάτο διακριτά και κινητά αντικείμενα, είναι πολύ χρήσιμο για εμάς να είμαστε σε θέση να εξάγουμε τον αριθμό τους, δηλαδή να τα μετρήσουμε. Αυτό μπορεί να μας βοηθήσει στην καθημερινή ζωή μας. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η εξέλιξη έχει εφοδιάσει τον εγκέφαλό μας και εκείνον πολλών ζωικών ειδών με απλούς αριθμητικούς μηχανισμούς. Στα ζώα, οι μηχανισμοί αυτοί είναι πολύ περιορισμένοι: Είναι προσεγγιστικοί, η αναπαράστασή τους καθίσταται ολοένα και περισσότερο χονδρική για αυξανόμενους μεγάλους αριθμούς, και περιλαμβάνουν μόνο τις πιο απλές αριθμητικές πράξεις. Οι άνθρωποι είχαν επίσης την αξιοσημείωτη καλή τύχη να αναπτύξουν ικανότητες για τη γλώσσα και τη συμβολική μορφή/ παράσταση. Αυτό μας επέτρεψε να αναπτύξουμε ακριβείς νοητικές αναπαραστάσεις για τους μεγάλους αριθμούς, καθώς και αλγόριθμους για ακριβείς υπολογισμούς. Τα Μαθηματικά, ή τουλάχιστον η Αριθμητική και η Θεωρία Αριθμών, είναι μια πυραμίδα από ολοένα και πιο αφηρημένες νοητικές κατασκευές που βασίζονται αποκλειστικά: (i) Στην ικανότητά μας για τη συμβολική γραφή, και (ii) στη μη-λεκτική ικανότητά μας να αναπαραστήσουμε και κατανοήσουμε αριθμητικές ποσότητες.
Ο Dehaene ισχυρίζεται ότι πολλές από τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν τα παιδιά κατά την εκμάθηση των Μαθηματικών, και οι οποίες μπορεί να μετατραπούν στον ενήλικα σε πλήρη άγνοια στοιχειωδών αριθμητικών γνώσεων και πράξεων, πηγάζουν από την αρχιτεκτονική του εγκεφάλου μας, ο οποίος δεν έχει εξελιχθεί με σκοπό να κάνει μόνο Μαθηματικά. Σύμφωνα με την άποψή του, ο ανθρώπινος εγκέφαλος δεν λειτουργεί όπως ένας υπολογιστής και ο φυσικός κόσμος δεν βασίζεται στα Μαθηματικά -μάλλον τα Μαθηματικά εξελίχθηκαν για να εξηγήσουν τον φυσικό κόσμο με τον τρόπο που εξελίχθηκε το μάτι για να προσφέρει όραση.
Τι είναι οι αριθμοί, πραγματικά; Αν παραδεχτούμε ότι όλοι γεννιόμαστε με μια υποτυπώδη αίσθηση του αριθμού που είναι χαραγμένη στην ίδια τη δομή του εγκέφαλού μας από την εξέλιξη, τότε είναι σαφές ότι οι αριθμοί πρέπει να ιδωθούν ως μια κατασκευή του εγκεφάλου μας. Ωστόσο, σε αντίθεση με πολλά κοινωνικά σχήματα, όπως η τέχνη και η θρησκεία, ο αριθμός και η Αριθμητική δεν είναι αυθαίρετες νοητικές κατασκευές. Αντίθετα, είναι καλά προσαρμοσμένα στον εξωτερικό κόσμο. Από πού προέρχεται η προσαρμογή αυτή; Το αίνιγμα για την επάρκεια και εφαρμογή των μαθηματικών μας κατασκευών στον εξωτερικό κόσμο χάνει μέρος από το μυστήριό του, αν κάποιος σκεφθεί δύο γεγονότα:
(i) Τα βασικά στοιχεία στα οποία βασίζονται οι μαθηματικές μας κατασκευές, όπως είναι οι αριθμοί, τα σύνολα, ο χώρος, και ούτω καθεξής, έχουν τις ρίζες τους στην αρχιτεκτονική του εγκέφαλού μας ύστερα από μακρά εξελικτική διαδικασία. Η εξέλιξη έχει ενσωματωθεί στις δομές του εγκεφάλου/ νου μας που είναι απαραίτητες για την επιβίωση και, επομένως, στη φιλαλήθη αντίληψη του εξωτερικού κόσμου. Στην κλίμακα στην οποία ζούμε, ο αριθμός είναι απαραίτητος, επειδή ζούμε σε έναν κόσμο φτιαγμένο από κινητά, διακριτά, αριθμήσιμα αντικείμενα. Τα πράγματα μπορεί να ήταν πολύ διαφορετικά, αν ζούσαμε σε έναν καθαρά ρευστό κόσμο, είτε σε ατομική κλίμακα, και ως εκ τούτου πρέπει να συμφωνήσουμε με την άποψη μαθηματικών όπως ο Poincare, ο Delbruck, ή ο Hersh ότι άλλες μορφές ζωής μπορούσαν να έχουν πολύ διαφορετικά Μαθηματικά από τη δική μας.
(ii) Τα Μαθηματικά μας έχουν εμφανίσει και μια άλλη εξέλιξη πολύ πιο γρήγορη: Μια πολιτισμική εξέλιξη. Τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν δημιουργηθεί κατά βούληση στο νου των μαθηματικών τους τελευταίους τριάντα αιώνες -αυτό είναι που αποκαλούμε Καθαρά/ Θεωρητικά Μαθηματικά. Αλλά στη συνέχεια έχουν επιλεγεί από αυτά όσα χρησιμεύουν στην επίλυση των προβλημάτων του πραγματικού κόσμου, για παράδειγμα στη Φυσική. Ως εκ τούτου, πολλά από τα σημερινά μας μαθηματικά εργαλεία είναι καλά προσαρμοσμένα στον εξωτερικό κόσμο, ακριβώς επειδή είχαν επιλεγεί ως συνάρτηση αυτού του ταιριάσματος.
Πολλοί μαθηματικοί είναι Πλατωνιστές. Πιστεύουν ότι το Σύμπαν αποτελείται από μαθηματικό υλικό, και ότι η δουλειά του μαθηματικού είναι απλώς να το ανακαλύψει. Ο Dehaene αμφισβητεί έντονα αυτή την άποψη. Αυτό δεν σημαίνει, ωστόσο, ότι είναι οπαδός του ‘κοινωνικού κονστρουκτιβισμού’. Όλως αντιθέτως, πιστεύει ότι οι μαθηματικές κατασκευές ξεπερνούν τους συγκεκριμένους ανθρώπινους πολιτισμούς. Κατά την άποψή του, ωστόσο, αυτό συμβαίνει επειδή όλοι οι πολιτισμοί του ανθρώπου έχουν την ίδια δομή εγκεφάλου που ηχεί με την ίδια μαθηματική μελωδία.
Η τιμή του π δεν αλλάζει με τον πολιτισμό. Επιπλέον, σε καμία περίπτωση δεν αρνείται ότι ο εξωτερικός κόσμος προσφέρει πολλά είδη δομής, η οποία ενσωματώνεται στα Μαθηματικά μας. Ενίσταται μόνο στο να ονομάζει τη δομή του σύμπαντος ‘μαθηματική’. Έχουμε αναπτύξει μαθηματικά μοντέλα του κόσμου, αλλά αυτά είναι μόνο μοντέλα, και ποτέ δεν είναι πλήρως ικανοποιητικά. Οι Πλανήτες δεν κινούνται σε ελλείψεις -οι ελλειπτικές τροχιές είναι μια καλή, αλλά κάθε άλλο παρά τέλεια, προσέγγιση. Η ύλη δεν είναι φτιαγμένη από άτομα, ηλεκτρόνια, ή quarks -όλα αυτά είναι καλά μοντέλα, αλλά μοντέλα που απαιτούν αναθεώρηση κάποια μέρα. Πολλές από τις εννοιολογικές δυσκολίες μπορούν να διευκρινισθούν εάν μαθηματικοί και θεωρητικοί φυσικοί δώσουν μεγαλύτερη προσοχή στη βασική διάκριση μεταξύ μοντέλου και πραγματικότητας, μια έννοια γνωστή στους βιολόγους.
