Μπορούμε να ορίσουμε τη μαθηματική ομορφιά ως την αισθητική τέρψη που προέρχεται από την αφαιρετικότητα, την καθαρότητα, την απλότητα, το βάθος και την τάξη των Μαθηματικών. Οι μαθηματικοί συχνά εκφράζουν αυτή την ευχαρίστηση περιγράφοντας τα Μαθηματικά ως όμορφα και επίσης ως μορφή τέχνης -μια θέση του G. H. Hardy- ή ως δημιουργική δραστηριότητα, που συγκρίνεται με τη μουσική και την ποίηση. Ανάμεσα σε πολλούς άλλους, ο Bertrand Russell εξέφρασε την αίσθηση της μαθηματικής ομορφιάς ως εξής: «Τα Μαθηματικά, σωστά ιδωμένα, διαθέτουν όχι μόνο την αλήθεια, αλλά την υπέρτατη ομορφιά -μια ομορφιά κρύα και λιτή, όπως αυτή της γλυπτικής, χωρίς έκκληση σε οποιοδήποτε μέρος της πιο αδύναμης φύσης μας, χωρίς τις υπέροχες παγίδες της ζωγραφικής ή της μουσικής, αλλά υπέροχα καθαρή, και ικανή για αυστηρή τελειότητα όπως μόνο η μεγαλύτερη τέχνη μπορεί να επιδείξει. Το αληθινό πνεύμα της απόλαυσης, η εξύψωση, η αίσθηση του να είσαι περισσότερο από Άνθρωπος, που είναι η βάση της υψηλότερης αριστείας, βρίσκεται στα Μαθηματικά τόσο σίγουρα όσο και στην ποίηση». Επίσης, ο Paul Erdos εκφράζει τις απόψεις του σχετικά με την αναποτελεσματικότητα να παρουσιαστεί η ομορφιά των Μαθηματικών: «Γιατί οι αριθμοί είναι όμορφοι; Είναι σαν να ρωτάτε γιατί είναι η 9η Συμφωνία του Μπετόβεν όμορφη. Εάν δεν βλέπετε γιατί, κανένας δεν μπορεί να σας πει. Ξέρω ότι οι αριθμοί είναι όμορφοι. Αν δεν είναι όμορφοι, δεν είναι τίποτα».

Τα πράγματα, εν προκειμένω, ξεκινάνε από το αξίωμα του Θωμά Ακινάτη “η ομορφιά σχετίζεται με τη γνωστική λειτουργία”. Μερικές φορές οι μαθηματικοί χαρακτηρίζουν τις άρτια διατυπωμένες εξισώσεις ‘ωραίες’ και ενθουσιάζονται από αυτές, όπως ενθουσιάζεται ο κριτικός από ένα έργο τέχνης. Το βιβλίο του Hardy A Mathematician’s Apology έχει μεγάλη αξία και ενδιαφέρον για τους ‘αισθητικούς’, αφού ένας διάσημος μαθηματικός μιλάει για την ομορφιά των Μαθηματικών. Η ανάλυσή του γι’ αυτή την ομορφιά είναι διεισδυτική και διαφωτιστική και έρχεται σε αντίθεση με την αοριστία που χαρακτηρίζει τη σύγχρονη άποψη σχετικά με τα κριτήρια της ομορφιάς στην τέχνη και τη μονομερή αντίληψη για το συναίσθημα και τη συγκίνηση που παραβλέπει τη γνωσιακή πλευρά.

Σταχυολογούμε μερικά ενδιαφέροντα αποσπάσματα από το κείμενο σχετικά με αυτό το θέμα:

• «Ο μαθηματικός, όπως ο ζωγράφος ή ο ποιητής, είναι δημιουργός τύπων. Οι μαθηματικοί τύποι, όπως και οι τύποι του ζωγράφου ή του ποιητή, πρέπει να είναι ωραίοι, οι ιδέες, όπως τα χρώματα ή οι λέξεις, πρέπει να συνταιριάζουν με αρμονικό τρόπο. Το πρώτο κριτήριο είναι η ομορφιά: δεν υπάρχει μόνιμη θέση στον κόσμο για άσχημα Μαθηματικά». (σ. 24-25)

• «Τα καλύτερα Μαθηματικά είναι και σοβαρά και ωραία. Η ομορφιά του μαθηματικού θεωρήματος εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τη σοβαρότητά του. Το ‘σοβαρό’ θεώρημα είναι αυτό που περιέχει ‘σημαίνουσες’ ιδέες, για τις οποίες υπάρχουν δύο ουσιώδεις παράμετροι, η γενίκευση και το βάθος». (σ. 25-43)

• Γενίκευση σημαίνει ότι «οι σχέσεις που αποκαλύπτονται από την απόδειξη πρέπει να συνδέουν διαφορετικές μαθηματικές ιδέες που υπερβαίνουν τα στενά όρια της αριθμητικής». (σ. 44)

• Το βάθος «έχει σχέση με τη δυσκολία. Όσο βαθύτερες είναι οι ιδέες, τόσο πιο δύσκολο είναι να τις συλλάβει κάποιος». (σ. 49)

• Σε ωραία θεωρήματα, όπως αυτά που εισηγήθηκαν οι Ευκλείδης και Πυθαγόρας, «υπάρχει έντονο το στοιχείο του απροσδόκητου, σε συνδυασμό με το αναπόφευκτο και την οικονομία, τα μέσα που χρησιμοποιούνται φαίνονται υπερβολικά απλά, αν συγκριθούν με τα σοβαρότατα αποτελέσματα. Όμως τα συμπεράσματα είναι αναπόφευκτα». (σ. 53)

• Έτσι, ο Hardy «ενδιαφέρεται για τα Μαθηματικά μόνο ως δημιουργική τέχνη». (σ. 55)

 Αφού ορίζει τα ουσιώδη στοιχεία κάθε τέχνης, ο συγγραφέας, εξοικειωμένος μόνο με τις σύγχρονες αισθητικές απόψεις, θεωρεί την ομορφιά των Μαθηματικών ανώτερη από την ομορφιά της τέχνης. Παραθέτει τη ρήση του Housman: “ποίηση δεν είναι ό,τι λέγεται, αλλά ο τρόπος που αυτό λέγεται” –μια άποψη που θα έκανε να τρίζουν τα κόκκαλα του Δάντη. Ο τελευταίος λέει, αναφερόμενος στο έργο του ‘Θεία Κωμωδία’, “το όλο έργο εκπονήθηκε αποβλέποντας σε ένα στόχο πρακτικό και όχι θεωρητικό. Σκοπός του όλου έργου είναι να αποσπάσει από την αθλιότητα όσους διάγουν τέτοια ζωή και να τους οδηγήσει στην ευλογία”.  

Στη συνέχεια παίρνει  ένα παράδειγμα από τον Σαίξπηρ:

Ούτε όλα τα κύματα της αγριεμένη θάλασσας

δεν μπορούν να ξεπλύνουν το μύρο του χρισμένου βασιλιά

και αναρωτιέται: «Μπορούσαν να υπάρξουν καλύτεροι στίχοι, και ακόμα μπορούσαν να υπάρξουν πιο τετριμμένες και συνάμα ψεύτικες ιδέες; Η πενία των ιδεών φαίνεται να επηρεάζει ελάχιστα την ομορφιά των λεκτικών σχημάτων».

Αυτό που πράγματι αποδεικνύει το παράδειγμα δεν είναι ότι η ομορφιά είναι ανεξάρτητη από την αξία του περιεχομένου, αλλά ότι η ομορφιά και η αξία είναι σχετιζόμενοι όροι. Δεν υπάρχει τίποτα που μπορεί να είναι όμορφο ή κατάλληλο σε όλα τα περιβάλλοντα. “Τίποτα δεν είναι ωραίο για διαφορετικό σκοπό από αυτόν που δημιουργήθηκε”, λέει ο Σωκράτης στον Ξενοφώντα. Το παράδειγμα δείχνει επίσης ότι αληθής δήλωση είναι αυτή που καθιστά τελικά εμφανή την αλήθεια της. Για κάθε πλατωνιστή, και οι περισσότεροι μαθηματικοί είναι, τα λόγια του Σαίξπηρ είναι και ωραία και αληθή, όμως δεν είναι αληθή για τον Hardy ή στα πλαίσια ενός δημοκρατικού περιβάλλοντος. Και όταν δεν είναι αληθή δεν μπορούν, σύμφωνα με την παράδοση, τα λεκτικά σχήματα να τα κάνουν ωραία, γιατί “η ομορφιά σχετίζεται με τη γνώση”. Είναι ωραία, ή μάλλον αρεστά, για εκείνους που ο Πλάτωνας αποκαλεί “εραστές των ωραίων χρωμάτων και ήχων”. Ο Hardy δεν ανήκει σε αυτούς˙ εξομολογείται την άγνοιά του περί αισθητικής, όμως αυτό που χρειάζεται να κάνει είναι να εφαρμόσει τις δικές του μαθηματικές αρχές της σαφήνειας και της οικονομίας και σε άλλα έργα τέχνης. «Οι ιδέες δίνουν περιεχόμενο στους τύπους». (σ. 31)

Ως ‘Απολογία’, το βιβλίο του Hardy είναι μία υπεράσπιση των γνήσιων Ανώτερων Μαθηματικών έναντι εκείνων που επικεντρώνουν την πολεμική τους στην ‘αχρησία’ τους. Αυτό που θέλει να πει ο συγγραφέας είναι ότι τα Μαθηματικά ως όλον εξυπηρετούν ανάγκες της ψυχής και του σώματος, όπως οι τέχνες του αρχαϊκού ανθρώπου και εκείνων που ο Πλάτωνας δέχονταν στην Πολιτεία του. Τα Ανώτερα Μαθηματικά όντως υπηρέτησαν την ψυχή του και αυτό φαίνεται από τη δήλωσή του ότι, αν επρόκειτο να στηθεί στο Λονδίνο ένα άγαλμα πάνω σε ένα βάθρο και μπορούσε να διαλέξει μεταξύ της περίπτωσης να είναι το βάθρο τόσο ψηλό ώστε να μη διακρίνονται τα χαρακτηριστικά του αγάλματος και της περίπτωσης να είναι τόσο χαμηλό ώστε τα χαρακτηριστικά να διακρίνονται εύκολα, αυτός θα επέλεγε την πρώτη περίπτωση. (σ. 93)

Το γεγονός ότι πρωταρχικό μέλημα του ανθρώπου είναι να εργαστεί ο ίδιος για τη δική του σωτηρία, βρίσκει εδώ την καλύτερη υπεράσπισή του. Κάνει απόλυτα σαφές ότι δεν θα τα κατάφερνε καλύτερα σε οποιοδήποτε άλλο χώρο˙ τα Μαθηματικά ήταν η αποστολή του. Είχε δίκιο να είναι μαθηματικός, όχι επειδή πέτυχε ως μαθηματικός, αλλά επειδή πέτυχε γιατί έκανε αυτό που όριζε η φύση του να κάνει. Αυτή είναι η πλατωνική ‘δικαιοσύνη’ ή ‘η οδός της τελείωσης’.  

Αλλά ποιο είναι το κίνητρο που οδηγεί κάποιον να επιλέξει τον δικό του δρόμο και να απομακρυνθεί από την ταύτιση/ μίμηση της μάζας; Τι είναι αυτό που αδυσώπητα οδηγεί τα πράγματα προς το ασυνήθιστο; Είναι αυτό που λέμε προορισμό. Ένας παράγοντας παράλογος που οδηγεί το άτομο μοιραία έξω και μακριά από την αγέλη, στους δικούς του απάτητους και δύσβατους δρόμους. Η πραγματικά μεγάλη προσωπικότητα έχει πάντα προορισμό, αποστολή, χρέος στο οποίο πιστεύει όπως σε ένα θεό. Όποιος έχει προορισμό ακούει τη φωνή του εσώτερου εαυτού του και είναι προορισμένος, θεωρεί ότι τον διεκδικεί ο θεός από τον εξωτερικό κόσμο και πολλές φορές τον τιμωρεί για τις αποκλίσεις του από το Μεγάλο Έργο (Magnum Opus), δηλαδή την ανακάλυψη του κρυμμένου θησαυρού της σοφίας, τη γνώση που μπορεί να προκαλέσει θαυμαστές μεταμορφώσεις. Ο σοφός κατέχει το μυστικό όχι χάρη στον Μύθο αλλά στον Λόγο, δηλαδή τη γνώση, τη σοφία, την ενόραση κτλ. Αυτό το θέμα αποτελεί το ζωντανό πρότυπο/ αρχέτυπο πίσω από κάθε εφεύρεση και επιστημονική ή φιλοσοφική έρευνα.

Πηγές Πληροφορίας

• Hardy, G. H. A Mathematician’s Apology. Cambridge University Press. 1^st published 1941.

• Coomaraswamy, A. K. The Beauty of Mathematics –A review. Art Bulletin 23, NY, 1941.

• Hardy, G. H. Η Απολογία ενός Μαθηματικού. Πρόλογος: C. P. Snow. ΠΕΚ, Ηράκλειο, 1991.