Με τον όρο Μεταγνωσία / Μεταγνωστική διαδικασία εννοούμε το να σκεφτόμαστε για τη σκέψη μας. Συχνά, όταν λύνουμε πραγματικά, μαθηματικά ή άλλα προβλήματα, μια λύση ή ένας τρόπος λύσης εμφανίζονται ξαφνικά και τόσο γρήγορα στη νόησή μας, ώστε δεν ξέρουμε πώς ακριβώς τα βρήκαμε. Βέβαια, δεν είναι πάντα εύκολο να επιβραδύνουμε τη σκέψη, να ανιχνεύσουμε τους τρόπους της και να εξετάσουμε τις κρυμμένες στρατηγικές. Όμως, το να τα κάνουμε όλα αυτά, μας βοηθάει να αναπτύξουμε ένα σύνολο από στρατηγικές και να τις δοκιμάζουμε όταν βρισκόμαστε μπροστά σε ένα πρόβλημα που δεν γνωρίζουμε πώς ακριβώς να το χειριστούμε. Γι’ αυτό οι άνθρωποι γενικά καλό είναι να αναρωτιούνται «πώς το βρήκα αυτό;». Δηλαδή, η απάντηση στο πρόβλημα ή στο ερώτημα είναι μόνο η αρχή μιας διαδικασίας, η οποία, με την κατανόηση σε βάθος του πώς σκεφτόμαστε τη συγκεκριμένη λύση ή απάντηση, μπορεί να οδηγήσει στη συνειδητοποίηση και ταξινόμηση γενικών μεθόδων για λύσεις και απαντήσεις σε πολύ πιο δύσκολα προβλήματα και ερωτήσεις. Επομένως, μπορούμε τελικά να ορίσουμε τη Μεταγνωσία ως εξής: Μεταγνωσία είναι η κατανόηση της διαδικασίας της σκέψης και των στρατηγικών ενός ατόμου και η ικανότητα για συνειδητό αναστοχασμό και δράση πάνω σε αυτές, με σκοπό την τροποποίησή τους.

Οι απόψεις, και αντίστοιχες τεχνικές, για την αυτοπαρατήρηση της σκέψης γενικά, την αποταύτιση και αποστασιοποίηση, τη συνειδητοποίηση των τρόπων της και την επανάδραση για την τροποποίησή της, είναι πολύ παλιές. Όμως, η εξειδίκευσή τους στην επίλυση πραγματικών και μαθηματικών προβλημάτων έγινε πρόσφατα. Πράγματι, μεγάλη ώθηση στη Μεταγνωσία έδωσαν οι απόψεις του Schoenfeld, ο οποίος προσπάθησε να εξηγήσει τι είναι η Μεταγνωσία, γιατί είναι σημαντική και τι κάνουμε με αυτή. Η εξήγηση του Schoenfeld παρουσιάζει τη Μεταγνωσία, ή αναστοχασμό πάνω στη σκέψη, διαμέσου μιας συζήτησης για το πώς λύνεται ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, περί τίνος ακριβώς πρόκειται και πού και γιατί παρατηρούνται δυσκολίες στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος. Προτείνει επίσης κάποιους τρόπους για τη χρησιμοποίηση της Μεταγνωσίας μέσα στην τάξη.

Είναι γνωστό, σε όσους ασχολούνται με τη σύγχρονη εκπαίδευση, ότι οι περισσότεροι μαθητές δεν αισθάνονται καλά με πολλά από τα θετικά και τεχνικά μαθήματα και κυρίως με τα Μαθηματικά και αυτό είναι αποτέλεσμα του τρόπου με τον οποίο τα διδάσκονται. Πράγματι, εξαιτίας της παραδοσιακής μετωπικής διδασκαλίας και της αντίληψης ότι τα Μαθηματικά κυριαρχούνται από τον, ακατανόητο για τους πολλούς, φορμαλισμό των τύπων, οι περισσότεροι δεν καταλαβαίνουν πώς τα Μαθηματικά θα μπορούσαν να έχουν ενδιαφέρον και νόημα γι’ αυτούς. Η Μεταγνωσία έχει τη δυνατότητα να αυξάνει την προσωπική απόδοση νοήματος του κάθε ανθρώπου στα Μαθηματικά και να δημιουργεί «μαθηματική κουλτούρα», κατάσταση για την οποία ενδιαφέρεται ιδιαίτερα η Μεταγνωσία. Ο Schoenfeld ισχυρίζεται ότι ένας «μικρόκοσμος μαθηματικής κουλτούρας» ενθαρρύνει τους ανθρώπους να θεωρήσουν τα Μαθηματικά ως ολοκληρωμένο τμήμα της ζωής, προωθεί τη δυνατότητά να κάνουν τις απαραίτητες συνδέσεις μεταξύ των μαθηματικών εννοιών σε διαφορετικά πλαίσια και να χτίζουν μια αίσθηση κοινότητας, η οποία επεξεργάζεται από κοινού, δηλαδή συνεργατικά, ενεργητικά και ερευνητικά, την πολυπλοκότητα των Μαθηματικών.

Υπάρχουν τρεις τρόποι να μιλήσει κάποιος για Μεταγνωσία, σε σχέση με τη διαδικασία μάθησης των Μαθηματικών: Πεποιθήσεις και διαισθήσεις, κατανόηση, αυτογνωσία και αυτορρύθμιση.

(i) Πεποιθήσεις και διαισθήσεις: Ποιες έτοιμες ιδέες και απόψεις φέρνουμε μαζί μας για τα Μαθηματικά, όταν κάνουμε κάποια σχετική εργασία, και πώς σχηματίζεται ο τρόπος με τον οποίο κάνουμε Μαθηματικά; Ο Schoenfeld, εν προκειμένω, ακολουθεί τον κονστρουκτιβισμό και εξετάζει κάθε άνθρωπο καθώς οικοδομεί τη γνώση του και το μαθηματικό του πλαίσιο από τις πεποιθήσεις, διαισθήσεις και προηγούμενες εμπειρίες, στην προσπάθειά του να καταλάβει και νοηματοδοτήσει τον κόσμο. Μια πεποίθηση, στην οποία συνήθως καταλήγει, είναι ότι τα Μαθηματικά είναι φορμαλιστικά, μη διαπραγματεύσιμα και δεν έχουν σχέση με τον εξωτερικό κόσμο.

(ii) Η κατανόηση για τις ατομικές διαδικασίες σκέψης: Το γνωστό πρόβλημα για το ότι δεν ξέρουμε τι δεν ξέρουμε, συμπληρώνεται από το ότι δεν ξέρουμε τι ξέρουμε. Πόσο ακριβείς και συνειδητοί είμαστε όταν περιγράφουμε τις διαδικασίες της σκέψης μας; Η σωστή επίλυση προβλήματος απαιτεί να χρησιμοποιήσουμε επαρκώς αυτά τα οποία γνωρίζουμε και αν δεν έχουμε πλήρη αντίληψη του τι πράγματι γνωρίζουμε, τότε είναι δύσκολο να είμαστε ικανοί λύτες προβλημάτων. Με άλλα λόγια, η προσέγγισή μας σε μια μαθηματική εργασία και η κατανόηση για το πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα, επηρεάζονται από την έκταση με την οποία μπορούμε να εκτιμήσουμε ρεαλιστικά το τι πραγματικά είμαστε ικανοί να μάθουμε και να κάνουμε. Είναι σε όλους γνωστό ότι άλλοτε υπερεκτιμούμε και άλλοτε υποβαθμίζουμε τις πραγματικές μας δυνατότητες, για διάφορους λόγους ο καθένας.

(iii) Αυτογνωσία και αυτορρύθμιση: Πόσο καλά παρατηρούμε τι ακριβώς κάνουμε γενικά, αλλά και ειδικά όταν λύνουμε προβλήματα και πόσο καλά χρησιμοποιούμε την πληροφορία από τέτοιες παρατηρήσεις ως επανατροφοδότηση εισόδου για να οδηγηθούμε σε σωστές λύσεις; Ένας τρόπος για να αντιμετωπίσουμε τέτοια ερωτήματα είναι το να συνειδητοποιήσουμε τη σκέψη μας και τις διαδικασίες της, καθώς λύνουμε προβλήματα. Ο Schoenfeld προτείνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάποια μορφή συστημικής προσέγγισης, δηλαδή να εξετάσουμε τα εξής τέσσερα σημεία:

(α) To να βεβαιωθούμε σε τι ακριβώς αφορά πραγματικά το πρόβλημα, πριν βιαστούμε να αρχίσουμε την επίλυση.

(β) Τον σχεδιασμό.

(γ) Την απεικόνιση και παρακολούθηση της διαδικασίας επίλυσης, για τον έλεγχο της ορθότητάς της.

(δ) Τη σωστή κατανομή των δυνατοτήτων/ μέσων, δηλαδή απόφαση για το τι να κάνουμε και για πόσο χρόνο κατά τη διαδικασία επίλυσης.

Ο Schoenfeld έχει περιγράψει τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων, τα οποία είναι άγνωστα, με τρόπο συνεργατικό, ενεργητικό και ερευνητικό. Η μέθοδος δοκιμής – λάθους οδηγεί στο να ξανασκεφτούμε το πρόβλημα και τη διαδικασία. Αυτό μας εισάγει στη Μεταγνωσία, γιατί ο προσωπικός αναστοχασμός και η συζήτηση, καθώς και η προσπάθεια να σκεφτούμε τον τρόπο επίλυσης του προβλήματος, συνιστά ακριβώς τη Μεταγνωσία. Όμως πολλοί άνθρωποι, ως αποτέλεσμα της εκπαίδευσής τους, αναπτύσσουν πεποιθήσεις για το τι είναι τα Μαθηματικά, οι οποίες είναι λανθασμένες και ασκούν εντελώς αρνητική επίδραση στη συμπεριφορά τους ως προς αυτά, με αποτέλεσμα την ύπαρξη εμποδίων στη μάθηση.

Ένα απλό και χαρακτηριστικό παράδειγμα για την κατάσταση συνιστά το εξής: έρευνα σε δείγμα 45.000 μαθητών με το ακόλουθο πρόβλημα: “Ένα στρατιωτικό λεωφορείο χωράει 36 στρατιώτες. Αν θέλουμε να μεταφέρουμε 1128 στρατιώτες, πόσα λεωφορεία χρειάζονται;” έδωσε τα εξής αποτελέσματα: Το 70% έκαναν σωστά τη διαίρεση και στη συνέχεια έδωσαν την εξής απάντηση για τον αριθμό των λεωφορείων που απαιτούνται :

• Το 29% ότι είναι 31 υπόλοιπο 12.

• Το 18% ότι είναι 31.

• Το 23% ότι είναι 32, που αποτελεί και τη σωστή απάντηση.

Έτσι, ένας στους τρεις απάντησε «31 υπόλοιπο 12» δίχως να ελέγξει αν το αποτέλεσμα έχει νόημα και αντίκρισμα στην πραγματικότητα. Ουσιαστικά αντιμετώπισαν το πρόβλημα ως να επρόκειτο για ένα τυπικό υπολογισμό διαίρεσης και, παρά την ιστορία για τα λεωφορεία και τους στρατιώτες, ο υπολογισμός αυτός δεν είχε σχέση με τον πραγματικό κόσμο. Πολλοί πιστεύουν ότι τα σχολικά Μαθηματικά αποτελούνται μόνο από τυπικές διαδικασίες, οι οποίες είναι εντελώς άσχετες με τη ζωή, την ανακάλυψη και την επίλυση πραγματικών προβλημάτων. Αν τα μαθηματικά προβλήματα είχαν κάποιο νόημα γι’ αυτούς, μπορούσαν αυτοί ποτέ να δώσουν την απάντηση «31 υπόλοιπο 12»; Μάλιστα, ένας μαθηματικός έκανε αντίστοιχη έρευνα και έδωσε σε ομάδα μαθητών στην αυλή του σχολείου ανάλογο πρόβλημα, δηλαδή να αποφασίσουν πόσα λεωφορεία χρειάζονται για να πάνε εκδρομή, και παρατήρησε ότι δεν έπεσαν στο ίδιο λάθος γιατί το συγκεκριμένο είχε νόημα γι’ αυτούς.

Η μαθηματική σκέψη ως κουλτούρα δεν είναι δυνατόν να ενσωματωθεί από μια ξένη προς αυτή κουλτούρα, δηλαδή την παραδοσιακή διδασκαλία με ό,τι αυτή συνεπάγεται. Συνεπώς, είναι απαραίτητο να επαναπροσδιορίσουμε την τάξη και τον ρόλο της και να αποφασίσουμε για το ποιος θα πρέπει να μιλάει μέσα στην τάξη και πότε. Επίσης, είναι απαραίτητο να λάβουμε υπόψη μας τι γνωρίζουν ήδη οι μαθητές όταν έρχονται σε αυτή την τάξη και σε τι είναι έτοιμοι να δουλέψουν στη συνέχεια και με πιο ακριβώς τρόπο. Οι κάθε είδους αλληλεπιδράσεις και η αίσθηση της κοινότητας και της συνεργασίας, δηλαδή μια μαθηματική κουλτούρα, είναι μέρος αυτού το οποίο συνιστά τα Μαθηματικά. Ο τρόπος, για να φτάσει κάποιος να κατανοήσει τι είναι τα Μαθηματικά, είναι να συμμετέχει σε αυτή την κουλτούρα. Η διαδικασία επίλυσης προβλήματος μέσα στην τάξη με τρόπο συνεργατικό, ενεργητικό και ερευνητικό, έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός μικρόκοσμου μαθηματικής κουλτούρας. Σε αυτό τον μικρόκοσμο μαθηματικού πολιτισμού, τα Μαθηματικά είναι το μέσο ανταλλαγής: Μιλάνε όλοι για Μαθηματικά, τα εξηγεί ο ένας στον άλλο, μοιράζονται τα λάθη, αναστοχάζονται πάνω στη σκέψη τους και στις στρατηγικές τους, βιώνουν την αλληλεπίδραση των προσωπικοτήτων τους. Με αυτό τον τρόπο, σε μικρό χρονικό διάστημα, γίνονται όλοι αυτοί άνθρωποι των Μαθηματικών. Αν αυτό δεν αποτελεί μια μεμονωμένη εμπειρία, αλλά έχει συνέχεια, τότε η μάθηση των Μαθηματικών φαίνεται φυσική μέσα σε ένα τέτοιο περιβάλλον και συνοδεύεται από την αίσθηση της χαράς και της ορθότητας. Εξαιτίας αυτής ακριβώς της πολιτιστικής συμμετοχής, της βύθισης σε ένα κοινό υπόβαθρο, οι μαθητές βιώνουν τα Μαθηματικά με ένα τρόπο που έχει ενδιαφέρον και νόημα γι’ αυτούς. Για τον λόγο αυτό, το μάθημα έχει πολύ μεγαλύτερη δυνατότητα και ευκαιρία να δώσει αποτελέσματα με διάρκεια.

Με όλα τα πιο πάνω δείχνονται κάποιες απόψεις της μαθηματικής σκέψης και το τι σημαίνει να ζούμε σε μια μαθηματική κουλτούρα. Αλλά και η άλλη πλευρά, δηλαδή το να κατανοήσουμε την ανάπτυξη και συμβολή της μαθηματικής σκέψης στον πολιτισμό και γενικά στο κοινωνικό σύστημα, είναι εξίσου κρίσιμη και σημαντική. Τελικά, αυτό που φαίνεται ότι χρειάζεται εν προκειμένω είναι ένα πρόγραμμα πολιτιστικού σχεδιασμού για την παιδεία. Πρέπει να αντιληφθούμε καλά ποια στοιχεία του κοινωνικού συστήματος είναι αυτά, τα οποία προωθούν την ανάγκη να αναπτύξουμε και κατανοήσουμε τις μαθηματικές ιδέες και τα περιβάλλοντα που υποστηρίζουν την καλλιέργεια αυτών των ιδεών. Αυτό θα μας επιτρέψει να δημιουργήσουμε μικρόκοσμους μαθηματικού πολιτισμού, πολιτισμούς σχολικών τάξεων, στις οποίες οι μαθητές θα κάνουν Μαθηματικά με τρόπο φυσικό και γεμάτο ενδιαφέρον και νόημα γι’ αυτούς, σε συνθήκες πραγματικής ζωής και όχι εργαστηρίου χωρίς νόημα. Όταν επιτευχθεί αυτό, το βασικό πρόβλημα των εννοιακών κατηγοριών, δηλαδή το πρόβλημα της μεταφοράς, το οποίο συνίσταται στο ότι οι μαθητές δεν μπορούν να κάνουν συνδέσεις μεταξύ μαθηματικών εννοιών στο ίδιο ή σε διαφορετικά πλαίσια, θα έχει πια λυθεί προς όφελος όλων μας.

Μια από τις πιο σημαντικές επιτεύξεις της συνεργατικής και ενεργητικής διαδικασίας της παιδείας είναι το γεγονός ότι συμβάλλει πάρα πολύ στην ανάπτυξη της ικανότητας να αποστασιοποιούμεθα από τις σκέψεις και τις πράξεις μας και να στεκόμαστε κριτικά απέναντι σε αυτές. Με τον τρόπο αυτό υπάρχει ανατροφοδότηση, με αποτέλεσμα τη διόρθωση και αυτορρύθμιση. Αυτό ακριβώς είναι ό,τι συνιστά τη Μεταγνωσία. Μάλιστα, κάποιοι ερευνητές εν προκειμένω, ισχυρίζονται ότι η ικανότητα της Μεταγνωσίας, με όσα αυτή περιλαμβάνει, ξεχωρίζει όχι μόνο τον μαθητή που βρίσκεται προς τη σωστή κατεύθυνση μάθησης, αλλά και τον έμπειρο μαθηματικό από τον μη-έμπειρο. Οποιαδήποτε προσπάθεια να σταθούμε αντικειμενικά, κριτικά και διαλεκτικά απέναντι στον εαυτό μας και στα πράγματα, απαιτεί ύπαρξη και τόνωση αυτής ακριβώς της ικανότητας της Μεταγνωσίας.