1. Εισαγωγή

Τα κυριότερα πλαίσια, στα οποία εμφανίζεται η έννοια του ‘στυλ’ στα  Μαθηματικά από τις αρχές του 20^ου αιώνα, είναι:

(i) σε πολιτιστικές ιστορίες των Μαθηματικών˙

(ii) στον χαρακτηρισμό των εθνικών στυλ˙ 

(iii) στην περιγραφή της μαθηματικής πρακτικής.

Αυτά τα πλαίσια στη συνέχεια σχετίζονται με την πιο γνωστή αντιμετώπιση του στυλ στην Ιστορία και Φιλοσοφία των Επιστημών, όπου διακρίνονται ‘τοπικά’ και ‘μεθοδολογικά’ στυλ. Η φυσική θέση του ‘στυλ’ στα Μαθηματικά εμπίπτει μεταξύ του ‘τοπικού’ και του ‘μεθοδολογικού’ στυλ, που περιγράφεται από ιστορικούς και φιλόσοφους της Επιστήμης.

Συναντάμε αναφορές για στιλιστικά χαρακτηριστικά στα Μαθηματικά ήδη στις αρχές του 17^ου αιώνα. Ο Bonaventura Cavalieri, για παράδειγμα, ήδη από το 1635 αντιπαραβάλλει τις τεχνικές του με το Αρχιμήδειο στυλ: «Scio autem praefata omnia ad stylum Archimedeum reduci posse» (Γνωρίζω στην πραγματικότητα ότι όλα τα πράγματα που αναφέρθηκαν παραπάνω [τα θεωρήματά του] μπορούν να αναχθούν σε Αρχιμήδειο στυλ).

Αργότερα στον αιώνα είναι πιο εύκολο να βρούμε παραδείγματα. Ο Leibniz γράφει: «Η Ανάλυση δεν διαφέρει από το στυλ του Αρχιμήδη εκτός από τις εκφράσεις που είναι πιο άμεσες και πιο κατάλληλες για την τέχνη της ανακάλυψης». Είναι ενδιαφέρον γεγονός ότι τέτοια περιστατικά προηγούνται της γενικευμένης χρήσης της έννοιας του στυλ στη ζωγραφική, η οποία χρονολογείται μόνο από τη δεκαετία του 1660. Νωρίτερα στον 17^ο αιώνα η λέξη που χρησιμοποιείται στη ζωγραφική είναι ‘manière’ (τρόπος).

Εδώ είναι μερικά επιπλέον παραδείγματα από τον 19^ο και τον 20^ο αιώνα. Ο Chasles, μιλώντας για τον Monge, λέει: Ξεκίνησε νέο τρόπο γραφής και συζήτησης γι’ αυτή την Επιστήμη. Το στυλ, στην πραγματικότητα, είναι τόσο στενά συνδεδεμένο με το πνεύμα μιας μεθοδολογίας που πρέπει να προχωρήσουν παράλληλα. Ομοίως, το στυλ πρέπει αναγκαστικά να ασκήσει ισχυρή επιρροή σε αυτό το πνεύμα και στη γενική πρόοδο της Επιστήμης.

Άλλο παράδειγμα προέρχεται από την προσέγγιση του Dedekind στα Μαθηματικά: Η λαμπρότητα του Kronecker δεν μπορεί να αμφισβητηθεί. Αν είχε το δέκατο της ικανότητας του Dedekind να διατυπώνει και να εκφράζει τις ιδέες του με σαφήνεια, η συμβολή του στα Μαθηματικά μπορούσε να ήταν ακόμη μεγαλύτερη από αυτή του Dedekind. Όπως είναι όμως, η λαμπρότητα του, ως επί το πλείστον, πέθανε μαζί του. Η κληρονομιά του Dedekind, από την άλλη πλευρά, περιλάμβανε όχι μόνο σημαντικά θεωρήματα, παραδείγματα και έννοιες, αλλά και ολόκληρο στυλ Μαθηματικών που αποτέλεσε έμπνευση για κάθε επόμενη γενιά (Edwards).

Προφανώς, μπορούμε να σωρεύσουμε αποσπάσματα του ίδιου είδους, αλλά αυτό δεν είναι πολύ ενδιαφέρον και αποτελεσματικό. Ακόμα και στα Μαθηματικά το στυλ κυμαίνεται από ‘ατομικό’ έως ‘εθνικό’ έως ‘επιστημονικό’ στυλ, μεταξύ άλλων. Αυτό που χρειάζεται είναι πρώτα από όλα κατανόηση των κύριων πλαισίων στα οποία εμφανίζεται αναφορά για το στυλ στα Μαθηματικά, αν και αυτό το δοκίμιο δεν περιέχει πολλή συζήτηση για ‘ατομικά’ στυλ γιατί η διαπραγμάτευσή τους είναι δύσκολη υπόθεση. Παραδείγματα τέτοιων περιλαμβάνουν το πολύ προσωπικό στυλ των Euler, Ramanujan, Riemann, Serre, A. Weil κ.ά.

Σε πολλές περιπτώσεις η προσφυγή στην έννοια του στυλ θεωρείται ως δανεισμένη από την Τέχνη. Ο Harwood ισχυρίζεται ότι «η έννοια του στυλ επινοήθηκε για να ταξινομήσει τα πολιτιστικά πρότυπα που παρατηρήθηκαν στη μελέτη των καλών τεχνών», ενώ ο Wessely μιλά για «μεταφορά αυτής της έννοιας του στυλ στην Ιστορία της Επιστήμης».

2. Το Στυλ ως Κεντρική Ιδέα στις Πολιτιστικές Ιστορίες

Ορισμένες σημαντικές αναφορές του 20^ου αιώνα στην κατηγορία του στυλ στα Μαθηματικά σχετίζονται με την Τέχνη. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για εκείνους τους συγγραφείς που έχουν κίνητρα να λογοδοτούν με ενιαίο τρόπο για την πολιτιστική παραγωγή της ανθρωπότητας και που βλέπουν έτσι ομοιομορφία στις διαδικασίες αφενός της επιστημονικής και αφετέρου της καλλιτεχνικής παραγωγής. Σε τέτοιο πλαίσιο ο Oswald Spengler επιχειρεί μια μορφολογία της Παγκόσμιας Ιστορίας και ισχυρίζεται ότι η Ιστορία των Μαθηματικών χαρακτηρίζεται από διαφορετικές στιλιστικές εποχές που εξαρτιόνται από τον πολιτισμό που τις παρήγαγε:

Το στυλ των Μαθηματικών που δημιουργείται, εξαρτάται εξ ολοκλήρου από τον πολιτισμό στον οποίο βασίζεται, το είδος της ανθρωπότητας που το συλλογίζεται. Η ψυχή μπορεί να φέρει τις εγγενείς δυνατότητές της στην επιστημονική ανάπτυξη, να τις διαχειριστεί πρακτικά, να επιτύχει τα υψηλότερα επίπεδα στην άσκησή της – αλλά είναι αρκετά ανίσχυρη για να τις αλλάξει. Η ιδέα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας υλοποιείται στις πρώιμες μορφές των κλασικών κοσμημάτων, και αυτή του απείρου στις πρώτες μορφές της γοτθικής αρχιτεκτονικής, αιώνες πριν γεννηθούν οι πρώτοι μαθηματικοί των αντίστοιχων πολιτισμών.

Υπάρχουν παραλληλισμοί μεταξύ Μαθηματικών και άλλων καλλιτεχνικών παραγωγών ενός πολιτισμού. Στηριζόμενος στη δήλωση του Γκαίτε ότι «ο πλήρης μαθηματικός αισθάνεται μέσα του την ομορφιά του αληθινού» και στη δήλωση του Weierstrass ότι «όποιος δεν είναι ταυτόχρονα λίγο ποιητής δεν είναι ποτέ αληθινός μαθηματικός», ο Spengler συνεχίζει να χαρακτηρίζει τα Μαθηματικά ως τέχνη:         τα Μαθηματικά, λοιπόν, είναι μια τέχνη˙ ως εκ τούτου έχει τα στυλ και τις περιόδους στυλ. Δεν είναι, όπως φαντάζεται ο λαϊκός και ο φιλόσοφος, ουσιαστικά αναλλοίωτη, αλλά υπόκειται, όπως κάθε τέχνη, σε απαρατήρητες αλλαγές από εποχή σε εποχή.

Η πιο εκτεταμένη διαπραγμάτευση, που βασίζεται στον παραλληλισμό μεταξύ Τέχνης και Μαθηματικών και εκμεταλλεύεται την έννοια του στυλ ως κεντρική κατηγορία για την ανάλυση της Ιστορίας των Μαθηματικών, είναι αυτή του Max Bense. Ο Bense αφιερώνει ολόκληρο δοκίμιο στην άρθρωση του τρόπου με τον οποίο ισχύει η έννοια του στυλ στα Μαθηματικά. Για τον Bense το στυλ είναι μορφή: έτσι το στυλ είναι μορφή, βασική μορφή, και ορίζουμε αυτή τη μορφή ως ‘αισθητική’, αν ελέγχει κατηγορηματικά το αισθητικό, κάποιο υλικό.

Ο Bense βλέπει την Ιστορία της Τέχνης και την Ιστορία των Μαθηματικών ως πτυχές της μιας ιστορίας του νου. Στην πραγματικότητα «το στυλ δίνεται οπουδήποτε φτάνει η δημιουργία της ανθρώπινης φαντασίας και της ικανότητας έκφρασης». Ο Bense είναι επιρρεπής στο να παραλληλίζει τα στυλ στην Ιστορία της Τέχνης και τα στυλ στα Μαθηματικά (αντιμετωπίζει ειδικά το μπαρόκ και το ρομαντικό στυλ), αλλά κρατάει, σε αντίθεση με τον Spengler, τη φύση της Τέχνης και των Μαθηματικών ξεχωριστά.

Πράγματι, αναγνωρίζει ότι μια στιλιστική Ιστορία των Μαθηματικών δεν μπορεί να αναχθεί «σε σύμπτωση μεταξύ ορισμένων μαθηματικών τυπικών τάσεων και των μεγάλων καλλιτεχνικών/ κοσμοθεωρητικών/ πνευματικών μορφών μεμονωμένων εποχών όπως η Αναγέννηση, ο Κλασικισμός, το Μπαρόκ ή ο Ρομαντισμός». Αναφέρεται στον Felix Klein για να επισημάνει ότι ορισμένες γραμμές ανάπτυξης, που χαρακτηρίζονται ως τέτοιες από τον Klein, μπορούσαν να θεωρηθούν ότι δείχνουν τα στυλ στην ιστορία της ανάπτυξης των Μαθηματικών.

Προσπάθειες όπως του Spengler και του Bense σίγουρα ελκύουν εκείνους τους θεωρητικούς που θέλουν να χρησιμοποιήσουν την κατηγορία του στυλ ως εργαλείο για την περιγραφή, και ίσως για την ερμηνεία, των πολιτιστικών προτύπων. Ωστόσο, αφήνουν τον αναγνώστη, που είναι γνώστης των Μαθηματικών ή/ και της Ιστορίας της Τέχνης, σκεπτικό λόγω των συνήθως παραπλανητικών παραλληλισμών που, υποτίθεται, ότι παρέχουν αποδεικτικά στοιχεία για τον απολογισμό. Φυσικά, αυτό δεν λέγεται για να απορρίψουμε τελικά την προσέγγιση ή τη χρησιμότητα της καταλληλόλητας της κατηγορίας του στυλ στα Μαθηματικά, αλλά απλώς θέλουμε να σχετίζεται άμεσα με πτυχές της μαθηματικής πρακτικής.

Γενικά, μπορούμε να διακρίνουμε δύο τύπους θεωρίας που μπορούν να συσχετιστούν με τέτοιες προσπάθειες.

(i) Ο πρώτος είναι καθαρά περιγραφικός, ή ταξινομικός, και ικανοποιείται με την εμφάνιση ορισμένων κοινών προτύπων ανάμεσα σε μια συγκεκριμένη περιοχή σκέψης, όπως τα Μαθηματικά, και άλλα πολιτιστικά προϊόντα μιας συγκεκριμένης κοινωνίας.

(ii) Ο δεύτερος προϋποθέτει τον πρώτο, αλλά διερευνά επίσης τις αιτίες που οφείλονται στην παρουσία ενός συγκεκριμένου τρόπου σκέψης ή παραγωγής και συνήθως προσπαθεί να τις αποδώσει σε ψυχολογικούς ή κοινωνιολογικούς παράγοντες. 

Στον Spengler και τον Bense υπάρχουν στοιχεία και των δύο τύπων, παρ’ όλο που η έμφαση είναι περισσότερο στους παραλληλισμούς παρά στις αιτίες που υποκρύπτουν ή εξηγούν αυτούς τους παραλληλισμούς.

Προσπάθειες για επέκταση της χρήσης της έννοιας του στυλ στην Τέχνη και σε άλλους τομείς ανθρώπινων προσπαθειών αφθονούν στις αρχές του 20^ου αιώνα. Μια γνωστή περίπτωση είναι η κοινωνιολογική προσπάθεια του Mannheim να χαρακτηρίσει τις μορφές σκέψης σε διαφορετικές κοινωνικές ομάδες. Ενώ ο Mannheim δεν αποκλείει την επιστημονική σκέψη από το πεδίο της κοινωνιολογικής ανάλυσης της γνώσης, δεν συνεχίζει ενεργά μια τέτοια ανάλυση. Αντίθετα, ο Ludwik Fleck ασκεί κοινωνιολογική ανάλυση της Επιστήμης στην οποία τα ‘στυλ σκέψης’ παίζουν κεντρικό ρόλο. Ωστόσο, ο Fleck επικεντρώνεται στην ιατρική.

Είναι σημαντικό να επισημανθεί ότι η έννοια του ‘στυλ σκέψης’ έχει λάβει, σε γενικές γραμμές, δύο διαφορετικές εξελίξεις στη σύγχρονη έρευνα, οι οποίες επηρεάζουν επίσης τα Μαθηματικά.

(i) Υπάρχει η έννοια που συναντάμε στον Fleck. Ανάλογα με το κατά πόσο θέλουμε να σχεδιάζουμε συνδέσεις, μπορούμε να δούμε ότι αυτή η προσέγγιση στο ‘στυλ σκέψης’ σχετίζεται με το μετέπειτα έργο των Kuhn, Foucault και Hacking.

(ii) Υπάρχει, ωστόσο, ένας διαφορετικός τρόπος θεώρησης για τα ‘στυλ σκέψης’, που συνήθως πηγαίνει μαζί με το όνομα των γνωστικών στυλ. Αυτός είναι ένας τομέας που ενδιαφέρει τους γνωστικούς ψυχολόγους και τους μαθηματικούς εκπαιδευτικούς. Επικεντρώνεται στην ψυχολογική σύνθεση του ατόμου που επιδεικνύει προτίμηση για ένα συγκεκριμένο γνωστικό στυλ είτε στη μάθηση, στην κατανόηση ή στη σκέψη για τα Μαθηματικά -δηλαδή, επεξεργασία και οργάνωση μαθηματικής πληροφορίας. Η παλιά διάκριση μεταξύ οπτικών και αναλυτικών Μαθηματικών που υπογράμμισε ο Poincaré εξακολουθεί να αποτελεί μέρος της εικόνας, αν και σήμερα υπάρχει μεγάλη ποικιλία μοντέλων και ταξινομήσεων.

Στον τομέα της Ιστορίας και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών δεν υπάρχουν βιβλία για τα μαθηματικά στυλ που εξηγούν την εμφάνιση συγκεκριμένου στυλ με κοινωνιολογικές ή ψυχολογικές κατηγορίες, αν και το βιβλίο του Netz έχει ενδιαφέρον για τους θεωρητικούς του στυλ ως απόπειρα μιας γνωστικής ιστορίας σημαντικού τμήματος των Ελληνικών Μαθηματικών. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τα βιβλία Ιστορίας των Φυσικών Επιστημών, όπως το βιβλίο του Harwood, του οποίου στόχος είναι να εξηγήσει την εμφάνιση του στυλ σκέψης της γερμανικής κοινότητας μέσω κοινωνιολογικών επιχειρημάτων. Το πιο κοντινό σε ένα τέτοιο θέμα είναι η αντίληψη του Bieberbach για το στυλ στα Μαθηματικά ως εξαρτώμενο από ψυχολογικούς και φυλετικούς παράγοντες.

3. Εθνικά Στυλ στα Μαθηματικά

Κάτι λιγότερο φιλόδοξο από τις προηγούμενες προσπάθειες μιας γενικής ιστορίας ανθρώπινων πολιτιστικών παραγωγών ή εκτεταμένων παραλληλισμών μεταξύ Τέχνης και Μαθηματικών, συνίσταται στη χρήση της έννοιας του στυλ ως ιστοριογραφικής κατηγορίας στην Ιστορία των Μαθηματικών χωρίς ιδιαίτερη αναφορά στην Τέχνη ή σε άλλες πολιτισμικές δραστηριότητες. Αν κάποιος επιστρέψει στις αρχές του 20^ου αιώνα, διαπιστώνει ότι τα ‘εθνικά στυλ’ αναφέρονται συχνά για την κατηγοριοποίηση ορισμένων χαρακτηριστικών τα οποία χαρακτηρίζουν τη μαθηματική παραγωγή που φάνηκε να εμπίπτει ακριβώς στις εθνικές γραμμές. Στην Ιστορία της Επιστήμης έχουν μελετηθεί συχνά τέτοιες περιπτώσεις ‘εθνικών στυλ’. Μια περίπτωση ενδιαφέροντος για τα Μαθηματικά είναι η αντίθεση μεταξύ του γαλλικού και του γερμανικού στυλ στα Μαθηματικά που μελετήθηκε από τον Herbert Mehrtens.

Ο Mehrtens περιγράφει, από άποψη στυλ, τη σύγκρουση στα Μαθηματικά, μεταξύ των ‘φορμαλιστών’ και ‘λογικών’ αφενός και των ‘διαισθητικών’ αφετέρου, ως μάχη μεταξύ δύο αντιλήψεων των Μαθηματικών. Ο Gray κάνει κριτική της προσέγγισης του Mehrtens, ενώ τονίζει τον ‘μοντερνιστικό’ μετασχηματισμό των Μαθηματικών. Οι Hilbert και Poincaré χρησιμοποιούνται ως παραδείγματα των πηγών της αντιπαλότητας που οδήγησαν αργότερα στη θεμελιώδη συζήτηση Hilbert–Brouwer τη δεκαετία του 1920. Ο Mehrtens επισημαίνει επίσης ότι αυτή η αντιπαλότητα δεν έτρεχε απαραιτήτως σε εθνικό επίπεδο, όπως, για παράδειγμα, ο Klein μπορούσε να θεωρηθεί κοντά στον Poincaré.

Πράγματι, στα τέλη του 19^ου και στις αρχές του 20^ου αιώνα κυριαρχεί ο διεθνισμός στα Μαθηματικά. Ωστόσο, ο Α΄ Παγκόσμιος Πόλεμος αλλάζει την κατάσταση και προκαλεί έντονες εθνικιστικές συγκρούσεις. Κεντρικός παράγοντας στην ‘εθνικοποίηση’ της αντίθεσης είναι ο Pierre Duhem, ο οποίος αντιτάσσει το esprit de finesse των Γάλλων στο esprit de géométrie των Γερμανών: Να ξεκινήσετε από σαφείς αρχές, ύστερα να προχωρήσετε βήμα προς βήμα, υπομονετικά, επίπονα, με ρυθμό που οι κανόνες της συμπερασματικής λογικής να πειθαρχούν στην ακραία σοβαρότητα: αυτό είναι στο οποίο υπερέχει η γερμανική ιδιοφυΐα. Το γερμανικό esprit είναι ουσιαστικά esprit de géométrie. Οι Γερμανοί είναι γεωμέτρες, δεν είναι λεπτοί. Οι Γερμανοί στερούνται απολύτως του esprit de finesse.

Ο Duhem σκοπεύει να εφαρμόσει το μοντέλο του στις Φυσικές Επιστήμες, αλλά και στα Μαθηματικά. Ο Kleinert δείχνει ότι το βιβλίο του Duhem είναι μέρος μόνο της αντίδρασης Γάλλων επιστημόνων στη δήλωση του 1914 «Aufruf an die Kulturwelt» (Κάλεσμα στον κόσμο του πολιτισμού) που υπογράφηκε από 93 εξέχοντες Γερμανούς διανοούμενους. Αυτό οδήγησε στον λεγόμενο «Krieg der Geister» (Πόλεμο του πνεύματος) στον οποίο η πόλωση μεταξύ Γερμανίας και Γαλλίας έφτασε στο σημείο όχι μόνο να επικρίνει τους συγκεκριμένους τρόπους χρήσης της Επιστήμης (την άσκηση της Επιστήμης για στρατιωτικούς στόχους), αλλά επίσης οδήγησε σε χαρακτηρισμό της επιστημονικής γνώσης όπως καθορίζεται ουσιαστικά από τα εθνικά χαρακτηριστικά. Στην πραγματικότητα, αυτή η στρατηγική βασικά χρησιμοποιείται από τους Γάλλους για την κριτική του «La Science Allemande», αλλά, είκοσι χρόνια αργότερα, χρησιμοποιείται από τους Γερμανούς με την αντικατάσταση του ‘εθνικός’ από το ‘φυλετικός’. Η πιο γνωστή περίπτωση είναι αυτή του «Deutsche Physik», αλλά εδώ δίνεται έμφαση στο «Deutsche Mathematik».

Η πιο ακραία μορφή αυτής της ιδεολογικής αντιπαράθεσης, η οποία αντιστρέφει ειρωνικά τον ρόλο των Γερμανών και των Γάλλων στη σύγκριση που χρησιμοποιεί ο Duhem, βρίσκεται στα γραπτά του Ludwig Bieberbach, ιδρυτή του λεγόμενου «Deutsche Mathematik». Ξεκινώντας από την απόλυση του Landau από τη Σχολή Μαθηματικών στο Γκέτινγκεν, ο Bieberbach προσπαθεί να εκλογικεύσει το γιατί οι φοιτητές εκβίασαν την απόλυση του Landau. Σε μια περίληψη της ομιλίας του, συνοψίζει τους στόχους του ως εξής:

Η θεώρησή μου στοχεύει στην περιγραφή της επιρροής -για τη δική μου Επιστήμη, τα Μαθηματικά-, των ανθρώπων, του αίματος και της φυλής, στο στυλ της δημιουργίας χρησιμοποιώντας διάφορα παραδείγματα. Για έναν εθνικό-σοσιαλιστή αυτό δεν απαιτεί βεβαίως καθόλου απόδειξη. Είναι μάλλον άποψη με μεγάλη προφάνεια. Έτσι, όλες οι ενέργειες και οι σκέψεις μας έχουν τις ρίζες τους στο αίμα και τη φυλή και λαμβάνουν από αυτά την ιδιαιτερότητά τους. Ότι υπάρχουν τέτοια στυλ είναι επίσης γνωστό σε κάθε μαθηματικό.

Ισχυρίζεται ότι τα Μαθηματικά που ασκούσε ο Landau είναι ξένα προς το γερμανικό πνεύμα. Συγκρίνει τον Erhard Schmidt και τον Landau και ισχυρίζεται ότι στην πρώτη περίπτωση: το σύστημα κατευθύνεται προς τα αντικείμενα, η κατασκευή είναι οργανική, ενώ αντίθετα, το στυλ του Landau είναι ξένο στην πραγματικότητα, ανταγωνιστικό στη ζωή, ανόργανο. Το στυλ του Erhard Schmidt είναι συγκεκριμένο, διαισθητικό και ταυτόχρονα ικανοποιεί όλες τις λογικές απαιτήσεις.

Άλλες σημαντικές αντιθέσεις που προβάλει ο Bieberbach ως ‘απόδειξη’ για τους ισχυρισμούς του είναι ο Gauss έναντι των Cauchy–Goursat στους μιγαδικούς αριθμούς, ο Poincaré έναντι του Maxwell στη Μαθηματική Φυσική, ο Landau έναντι του Schmidt και ο Jacobi έναντι του Klein.

Στηριζόμενος στην ψυχολογία των τύπων του ψυχολόγου Jaensch, συνεχίζει να αντιπαραθέτει αφενός τους εβραϊκούς/ λατινικούς και αφετέρου τους γερμανικούς ψυχολογικούς τύπους. Η γραμμή σφάλματος, για να το πούμε έτσι, είναι μεταξύ Μαθηματικών που βασίζονται στη διαίσθηση, τυπική των γερμανικών Μαθηματικών, και του φορμαλισμού που φέρεται να υποστηρίζεται από τους Εβραίους/ Λατίνους μαθηματικούς. Προφανώς, ο Bieberbach αναγκάστηκε να κάνει πολλή δουλειά για να βεβαιωθεί ότι οι σημαντικοί Γερμανοί μαθηματικοί δεν κατέληξαν στη λάθος πλευρά της εξίσωσης, αν δούμε τι λέει για τους Weierstrass, Euler και Hilbert. Τη βάση αυτών των μαθηματικών διαφορών τη βρίσκει στα φυλετικά χαρακτηριστικά: Στη θεώρησή μου, προσπάθησα να δείξω ότι στη μαθηματική δραστηριότητα υπάρχουν ζητήματα στυλ και ότι επομένως το αίμα και η φυλή επηρεάζουν τον τρόπο της μαθηματικής δημιουργίας.

Ο λόγος για τη συζήτηση του Bieberbach σε αυτό το πλαίσιο είναι ότι η υπόθεσή του αποτελεί μια απόπειρα ριζώματος της έννοιας του στυλ σε κάτι πιο θεμελιώδες, όπως τα εθνικά χαρακτηριστικά που ερμηνεύονται με όρους ψυχολογίας και φυλετικών χαρακτηριστικών. Επιπλέον, η υπόθεσή του ενδιαφέρει επίσης, καθώς η προσέγγισή του στο στυλ δείχνει πώς αυτή η θεωρία μπορεί να τεθεί στην υπηρεσία ενός πολιτικού προγράμματος.

Ευτυχώς, η συζήτηση για τα εθνικά στυλ στα Μαθηματικά δεν χρειάζεται να έχει όλες τις επιπτώσεις που βρέθηκαν στον Bieberbach. Πράγματι, όταν οι ιστορικοί σήμερα αναφέρονται σε εθνικά στυλ, το κάνουν χωρίς τον εθνικισμό που κίνησε τις παλαιότερες συνεισφορές. Αντίθετα, ασχολούνται με την περιγραφή του τρόπου με τον οποίο οι ‘τοπικοί’ πολιτισμοί παίζουν ρόλο στη συγκρότηση της γνώσης. Ενώ σήμερα η αυξημένη κινητικότητα και οι επικοινωνίες μέσω email καθιστούν δυσκολότερο να ευδοκιμήσουν τα εθνικά στυλ, ειδικές πολιτικές συνθήκες μπορούν επίσης να ευνοήσουν την επιμονή ενός τέτοιου στυλ.

Αυτή είναι η περίπτωση, για παράδειγμα, του ρωσικού στυλ στην Αλγεβρική Γεωμετρία και τη Θεωρία Αναπαράστασης. Αυτή η περίπτωση εθνικού στυλ αξίζει πιο εκτεταμένη έρευνα και είναι ενδιαφέρον να μελετήσουμε πώς η πτώση της Σοβιετικής Ένωσης επηρέασε αυτό το στυλ. Αντίθετα, ένα παράδειγμα εθνικού στυλ που έχει μελετηθεί εκτενώς είναι αυτό της Αλγεβρικής Γεωμετρίας ιταλικού στυλ. Αυτή η περίπτωση μελετήθηκε με προσοχή από πολλούς ιστορικούς Μαθηματικών και συγκεκριμένα από τον Aldo Brigaglia. Για παράδειγμα, σε πρόσφατο άρθρο, ο Brigaglia γράφει: Επιπλέον, η ιταλική σχολή δεν είναι αυστηρά εθνική ‘σχολή’, αλλά μάλλον στυλ εργασίας και μεθοδολογία, που βασίζεται κυρίως στην Ιταλία, αλλά με εκπροσώπους που βρίσκονται παντού στον κόσμο.

Τα αποσπάσματα υπογραμμίζουν το πρόβλημα της προσπάθειας κατανόησης της διαφοράς μεταξύ ‘σχολών’, ‘στυλ’, ‘μεθοδολογιών’ κλπ. Δεν έχει γίνει προσπάθεια να συζητηθεί αναλυτικά η έννοια του ‘εθνικού στυλ’ για την Ιστορία των Μαθηματικών -σε κάθε περίπτωση, τίποτα συγκρίσιμο με αυτό που κάνει ο Harwood στο βιβλίο του. Η κατάσταση περιπλέκεται επίσης από το γεγονός ότι διαφορετικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν διαφορετικές ορολογίες, ενώ ίσως αναφέρονται στο ίδιο θέμα. Για παράδειγμα, έχουν γίνει πολλές συζητήσεις πρόσφατα για ‘εικόνες των Μαθηματικών’ (images of mathematics). Οφείλουμε να σκεφτούμε αυτές τις διαφορετικές χρήσεις του στυλ στην ιστοριογραφική βιβλιογραφία για τα Μαθηματικά και πώς συγκρίνονται με αυτές των Φυσικών Επιστημών.

Πηγές Πληροφορίας

Η περισσότερη πληροφορία που περιέχεται σε αυτό το κείμενο προέρχεται από το:

• Mancosu, P., 2017, Mathematical Style, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, editor Edward N. Zalta, publisher Metaphysics Research Lab, Stanford University.

Σε αυτό περιλαμβάνεται και αναλυτική βιβλιογραφία.