1. Προϊδεασμός

Στο ποίημα ‘Ελένη’, εμπνευσμένο από το ομώνυμο αντιπολεμικό έργο του Ευριπίδη, ο Σεφέρης συμπάσχει με τον ήρωα της τραγωδίας Τεύκρο, ο οποίος αντιτάσσεται στην εμπλοκή των Θεών στις ζωές των ανθρώπων, θέτοντας αναπάντητα και αντιφατικά ερωτήματα. Με τον στίχο «ότι θεός ή μη θεός ή το μέσον/ τις φησ’ ερευνήσας βροτών;» του Ευριπίδη και τον «τ’ είναι θεός; τι μη θεός; και τι τ’ ανάμεσό τους;» του Σεφέρη, τίθενται τα θεμέλια στο είδος της λογικής που μπορεί κάποιος να θεωρήσει ως πρόδρομο της Ασαφούς Λογικής. Όταν ο Σεφέρης παίρνει το Νόμπελ, δηλώνει: «Τούτη την ώρα αισθάνομαι πως είμαι ο ίδιος μια αντίφαση» (ομιλία στη Στοκχόλμη), μια πρόταση που χρεώνεται στη νέα γλώσσα της Μαθηματικής Λογικής του 20^ου αιώνα. Λαμβάνοντας υπόψη τα λόγια του Karl Weierstrass «είναι αλήθεια ότι ένας μαθηματικός που δεν είναι κατά κάποιο τρόπο ποιητής, δεν θα γίνει ποτέ τέλειος μαθηματικός» συζητάμε, μέσα από τα δύο ποιήματα, για το πώς μπορεί η Ποίηση και τα Μαθηματικά (Μαθηματική Λογική) να αλληλοεπιδράσουν.  

1. Τι Είναι η Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic)

Η Ασαφής Λογική είναι το είδος της Μαθηματικής Λογικής στην οποία οι προτάσεις με νόημα, που μπορούν να χαρακτηρισθούν ως αληθείς ή ψευδείς, έχουν βαθμό αλήθειας στο διάστημα μεταξύ 0 (ψευδές) και 1 (αληθές), συμπεριλαμβανομένων. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας την Ασαφή Λογική μπορεί κάποιος να υποστηρίξει ότι «ένα άτομο είναι καλό κατά 60% ή βαθμό αλήθειας 0,6 και κακό κατά 40% ή βαθμό αλήθειας 0,4”. Μια τέτοια απάντηση ταιριάζει καλύτερα στην πολύπλοκη πραγματικότητα. Για παράδειγμα, αν ρωτούσαμε μια ομάδα ανθρώπων που βγαίνει από τον κινηματογράφο: «Σου άρεσε αυτή η ταινία;», κάποιοι θα απαντούσαν «Μου άρεσε», κάποιοι άλλοι «δεν μου άρεσε» και πολλοί άλλοι θα πουν « «(Μου άρεσε) έτσι κι έτσι». Η τελευταία απάντηση μπορεί να θεωρηθεί ως η ‘πιο ασαφής’, καθώς υποστηρίζει ότι η ταινία ήταν καλή σε βαθμό 0,5 και συμπληρωματικά κακή σε βαθμό 0,5, και ως εκ τούτου, οδηγεί στην περιοχή της Ασαφούς Λογικής, ένα πεδίο που προσπαθεί να καλύψει το μεγάλο χάσμα μεταξύ 0 και 1. Τα θεμέλια της Ασαφούς Λογικής τέθηκαν τη δεκαετία του ’60, από τον Lotfi Zadeh.

2. Η Αναζήτηση του Μέσου

Ο Σεφέρης, λοιπόν,  στην ομιλία στη Στοκχόλμη ξεκινάει λέγοντας: «Τούτη την ώρα αισθάνομαι πως είμαι ο ίδιος μια αντίφαση» -τονίζουμε τη λέξη ‘αντίφαση’ και θα επανέλθουμε σε αυτήν. Σε αυτό το κείμενο μας απασχολούν οι μαθηματικές δομές που μπορεί κάποιος να αποσπάσει από το συγκεκριμένο ποίημα του Σεφέρη, αφήνοντας το καλλιτεχνικό κομμάτι της ποίησης στους ειδικούς της λογοτεχνίας. Μέσα από την ‘Ελένη’ ξεκινάμε μια αναζήτηση μαζί με τον Τεύκρο και τον ίδιο τον ποιητή, για να βρούμε τη δική μας αλήθεια στενά συνδεμένη με το πεδίο της Ασαφούς Λογικής.

Αρχίζουμε πρώτα από την ‘Ελένη’ του Ευριπίδη και το συγκεκριμένο απόσπασμα: «ὅτι θεὸς ἢ μὴ θεὸς ἢ τὸ μέσον/ τίς φησ’ ἐρευνήσας βροτῶν;». «Ποιος θνητός ισχυρίζεται, ερευνώντας στο υπέρτατο όριο, ότι ανακάλυψε τη φύση του Θεού, ή του αντιθέτου του, ή αυτού που βρίσκεται ανάμεσα, βλέποντας, καθώς ψάχνει αυτόν τον κόσμο του ανθρώπου, να τινάζεται πέρα ​​δώθε από κύματα αντιφάσεων και περίεργων αντιξοοτήτων;», κατά τον Coleridge. Και συνεχίζουμε με την ‘Ελένη’ του Σεφέρη: «τ’ είναι θεός· τι μη θεός; και τι τ’ ανάμεσό τους;», που πρόκειται για μετάφραση του στίχου του Ευριπίδη (‘Ελένη’, 1137).   

Ο Τεύκρος, που πρωταγωνιστεί στην ‘Ελένη’ του Ευριπίδη, και ο Σεφέρης έχουν πολλά κοινά σημεία: τους ενώνει η Κύπρος,  ταυτόσημες απόψεις,  φιλοσοφίες για τις αλήθειες της ζωής, οι πόλεμοι του καθενός. Και οι δύο καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι οι πολυάριθμες δυνατότητες αιματοχυσίας ή θανάτου στον κόσμο υποβαθμίζονται, επιτρέποντας στα θολωμένα μυαλά της ανθρωπότητας να δουν την πραγματικότητα (άρα και τη λογική) από διαφορετική οπτική γωνία.

3. Η Άρνηση της Κλασικής Λογικής από τον Σεφέρη.

Υιοθετώντας τις ερωτήσεις «Τι είναι θεός; Τι δεν είναι θεός; Και τι υπάρχει ανάμεσά τους;» ο Σεφέρης αναρωτιέται εάν η κλασική λογική του Αριστοτέλη (η κλασική λογική του αληθούς ή του ψευδούς, 0 ή 1) είναι έγκυρη και εισάγει μαθηματικές έννοιες και ερωτήματα που απαντήθηκαν μόλις χρόνια αργότερα: Αν το «Θεός» αντιπροσωπεύει το 1 και το «Όχι Θεός» αντιπροσωπεύει το 0, υπάρχει κάτι μεταξύ 0 και 1; Η παραδοσιακή, κλασική Μαθηματική Λογική, αυτή του 0 και 1, είναι αποτελεσματική όταν χρησιμοποιείται σε μαθηματικές εκφράσεις, αλλά η καθημερινή ζωή έχει αποδειχθεί πολύ πιο πολύπλοκη. Για παράδειγμα, κάποιος μπορεί να ισχυριστεί ότι η πρόταση: «ο 2 είναι περιττός αριθμός» είναι ψευδής ή ότι έχει τιμή αλήθειας ίσο με 0. Ένας άλλος μπορεί να προτείνει ότι η πρόταση: «ο αριθμός 4 είναι τέλειο τετράγωνο» είναι αληθής με τιμή αλήθειας 1. Η διαμάχη ξεκινά όταν κάποιος επιχειρεί να εφαρμόσει την κλασική λογική στην καθημερινή ζωή. Αν ισχυριστούμε ότι τα 2.000 ευρώ είναι υψηλό μηνιαίο εισόδημα για έναν εργαζόμενο, τότε το να θεωρήσουμε έναν μισθό 1.990 ευρώ ως όχι υψηλό, δεν έχει και πολύ νόημα. Αυτή η αντίφαση προκύπτει λόγω του λεγόμενου «Νόμου της Αντίφασης» της κλασικής λογικής: Δεν μπορεί να υπάρχει πρόταση που να είναι αληθής και ψευδής, ταυτόχρονα.

Σύμφωνα με αυτό, θεωρούμε ότι η κλασική λογική είναι αντιφατική, όταν προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε φαινόμενα της πραγματικής ζωής. Η επιτυχία της ακρίβειας της επιστήμης των Μαθηματικών βασίζεται στον Αριστοτέλη και τους προκατόχους του, οι οποίοι προσπάθησαν να διατυπώσουν μια σύντομη θεωρία της Μαθηματικής Λογικής και της μαθηματικής επιστήμης. Ένας από τους νόμους, ο λεγόμενος «Νόμος του Αποκλειόμενου Μέσου» δηλώνει ότι κάθε πρόταση πρέπει να είναι είτε αληθής είτε ψευδής. Το τελευταίο προτάθηκε αρχικά από τον Παρμενίδη υποκινώντας την άμεση και έντονη αντίδραση των αντιπάλων του: ο Ηράκλειτος ισχυρίστηκε ότι μια πρόταση μπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθής και ψευδής. Ο Πλάτων αμφισβήτησε επίσης τον παραπάνω νόμο, υποστηρίζοντας ότι υπάρχει μια τρίτη επιλογή μεταξύ αληθούς και ψευδούς, όταν και τα δύο «πέφτουν στην ύπαρξη». Ωστόσο, υπάρχουν σύγχρονοι μαθηματικοί και φιλόσοφοι που υποστηρίζουν την ιδέα ότι τα εύσημα για τα θεμέλια της Ασαφούς Λογικής πρέπει να αποδοθούν στον Βούδα που κήρυττε ότι το καλό και το κακό συνυπάρχουν. Το 1920, ο Πολωνός μαθηματικός Jean Lucasiewicz περιγράφει ένα σύστημα λογικής τριών τιμών. Η τρίτη τιμή που πρότεινε μπορεί να περιγραφεί ως ‘εφικτή’ και συνδέεται με μια αριθμητική τιμή μεταξύ «αληθής ή ψευδής». Αργότερα, εισάγει ένα σύστημα λογικής τεσσάρων και πέντε τιμών, δηλώνοντας ότι τίποτα δεν μπορούσε να εμποδίσει τον τρόπο δημιουργίας μιας λογικής πολλών τιμών (multi–valued logic). Κατέληξε να χρησιμοποιήσει το σύστημα λογικής τεσσάρων τιμών επειδή διαπίστωσε ότι ήταν πιο σχετικό με τη λογική του Αριστοτέλη.

Το 1965, ο Lotfi Zadeh δημοσιεύει μια καινοτόμο εργασία με τον τίτλο ‘Fuzzy Sets’ που επικεντρωνόταν στη Μαθηματική Λογική της θεωρίας των Ασαφών Συνόλων και, αναπόφευκτα, στην Ασαφή Λογική. Η συγκεκριμένη λογική είναι μια γενίκευση της λογικής του Αριστοτέλη, λογική πολλαπλών τιμών, εισάγοντας την ποσόστωση αλήθειας, μεταξύ των τελικών σημείων του διαστήματος [0,1], όπου το 1 αντιστοιχεί στο «αληθές» και το 0 στο «ψευδές». Τα παραπάνω απεικονίζονται ως μια γραμμή όπου το όνομα του Αριστοτέλη τοποθετείται στα δύο τελικά σημεία [0,1] και του Βούδα τοποθετείται στη μέση (1/2). Σύμφωνα με αυτά, η λογική του Αριστοτέλη είναι η απόλυτη λογική του 0 ή του 1, η λογική του αληθούς ή του ψευδούς, το του Σεφέρη «Τι είναι Θεός; Τι δεν είναι Θεός». Ο Βούδας μπορεί να μην αντικατοπτρίζει τη φράση «Και τι υπάρχει ανάμεσά τους», αλλά συμβολίζει τη μέγιστη αβεβαιότητα, την καθημερινή φράση «έτσι κι έτσι». Κατά κάποιο τρόπο, το σχήμα που φαίνεται παρακάτω, με το όνομα του Αριστοτέλη πάνω από το 0 και το 1 και του Βούδα πάνω από το 1/2, αντικατοπτρίζει την τρίτιμη λογική του Jean Lucasiewic:

Α Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Η Σ     Β Ο Υ Δ Α Σ     Α Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ ΗΣ

                     [0                                           ½                                             1]

4. Ο Σεφέρης και η Λογική χωρίς Αντιφάσεις

Οτιδήποτε σχετίζεται με την κλασική λογική, είναι συνυφασμένο μόνο με το 0 ή το 1. Το κλασικό σύνολο μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας το 0 ή το 1 ή το «Θεός ή όχι Θεός» του Σεφέρη, και διέπεται από τους ακόλουθους νόμους:

(i) Νόμος της αντίφασης: Ένα στοιχείο δεν μπορεί να ανήκει και να μην ανήκει ταυτόχρονα στο Α -ένα γεγονός δεν μπορεί να συμβεί και να μην συμβαίνει ταυτόχρονα.

(ii) Νόμος του Αποκλειομένου Μέσου: Ένα τυχαίο στοιχείο ανήκει αποκλειστικά στο A ή στο συμπλήρωμά του -μόνο ένα από τα Α και το συμπλήρωμά του μπορεί να λάβει χώρα.

Τα παραπάνω οδηγούν τον Σεφέρη να αναζητήσει την ουσία τού αν οι αντιφάσεις που συναντά συχνά μπορούν να εξηγηθούν με την εφαρμογή της κλασικής λογικής. Στην περίπτωση των ασαφών συνόλων, οι παραπάνω νόμοι δεν ισχύουν. Αυτό σημαίνει ότι θεωρούμε το «όχι Θεός» του Σεφέρη, που είναι η άρνηση του 1, ως 0. Αυτό είναι εφικτό λόγω των ιδιοτήτων της Ασαφούς Λογικής. Όμως, μεταξύ 0 και 1, υπάρχει Ασαφής Λογική.

Η απάντηση στο γιατί ο Σεφέρης αναζητά τι βρίσκεται μεταξύ 1 και 0 είναι ότι ο νόμος της αντίφασης δεν ισχύει για την Ασαφή Λογική, επομένως μπορεί να εξηγήσει τις αντιφάσεις που συνάντησε σε όλη του τη ζωή και στον εαυτό του, όπως ο ίδιος δηλώνει.

5. Έξοδος

Στην ‘Ελένη’, από τα πιο ώριμα δείγματα της ποιητικής του Σεφέρη, ο χρόνος -ιστορικός ή μυθικός- απαγκιστρώνεται από υποκειμενικές και κοινωνικές συμβάσεις και επιτρέπει έναν ασυνείδητο παραλληλισμό και ταύτιση με μαθηματικές έννοιες και θέτει τα θεμέλια για την Ασαφή Λογική. Αν παρατηρήσουμε την καθημερινότητά μας, βλέπουμε ότι βιώνουμε την Ασαφή Λογική μέσα από τις πράξεις μας και, παρ’ όλες τις αντιφάσεις, καταφέρνουμε να επιτύχουμε ισορροπία μέσα σε ένα ασαφή κόσμο, όπου, εκτός από μαύρο και άσπρο, διαθέτει μια απέραντη γκάμα γκρίζου.

Πηγές Πληροφορίας  

• Papadopoulos, K., Tseliou, P. & Papadopoulos, B. K. (2018). Helen of Troy and the Birth of Fuzzy Logic. arXiv:1702.03397.

• Euripides, Helen, The Internet Classics Archiver, M.I.T., translated in English by E.P. Coleridge.

• Klir, G.J. & Yuan, B. (1995). Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Application. New Jersey: Prentice Hall PTR.

• Zadeh, L.A. (1965). Fuzzy Sets. Information and Control, 8(3), 338-353.

• Γαβαλάς, Δ. (2015). Μη-κλασικά Μαθηματικά. Εκδόσεις 345, Αθήνα.

• Ευριπίδης, Ελένη. Μτφρ. Τάσος Ρούσσος, 2006. ΟΕΔΒ, Αθήνα.

• Σεφέρης, Γ. (1963). Δοκιμές 2. Ίκαρος, Αθήνα.

• Σεφέρης, Γ. (1955). Κύπρον, ου μ’ εθέσπισεν. Ίκαρος, Αθήνα.