Τα Μαθηματικά είναι νοητική διαδικασία με αξία και νόημα, καθώς επίσης καθολική γλώσσα, δηλαδή ίδια για όλους. Αποτελούνται από έννοιες, οι οποίες μας επιβάλλονται και αντανακλούν συγκεκριμένα γεγονότα του Κόσμου, όπως αυτός υποπίπτει στην αντίληψη του ανθρώπου. Οι έννοιες και οι ιδέες των Μαθηματικών, εξελίσσονται σε αντιστοιχία με συγκεκριμένα θεμελιακά χαρακτηριστικά της συνολικής πραγματικότητας. Σύμφωνα με τον Rucker, η διάκριση των κάθε είδους αντικειμένων, οδηγεί στο να αντιληφθούμε την έννοια της διακριτότητας, η οποία με τη σειρά της καθορίζει, αρχικά και από μια άποψη, την έννοια του αριθμού. Η αλλαγή κατά φυσικό τρόπο, χωρίς κενά και άλματα, οδηγεί στο να αντιληφθούμε την έννοια του συνεχούς. Τα αντικείμενα συνυπάρχουν και σχετίζονται σε ένα χώρο, που μπορούμε να μετρήσουμε. Τα διακεκριμένα είδη αντικειμένων, τα οποία μοιάζουν μεταξύ τους, οδηγεί στην αντίληψη της έννοιας της ομοιότητας. Η μελέτη των προτύπων της ομοιότητας οδηγεί στη λογική. Το ότι ο Κόσμος δεν έχει φανερά όρια, οδηγεί στην αντίληψη του απέραντου, το οποίο οδηγεί στο άπειρο.

Οι τέσσερις αυτές όψεις των Μαθηματικών, δηλαδή αριθμός, χώρος, λογική και άπειρο, διδάσκονται στους μαθητές. Όταν αυτοί ασκούνται στην Αριθμητική, μαθαίνουν να χειρίζονται τον αριθμό. Η Γεωμετρία είναι, προφανώς, μελέτη του χώρου. Η Άλγεβρα είναι ένα είδος λογικής και ο Λογισμός είναι μελέτη του απείρου.

Αριθμός, χώρος, λογική και άπειρο είναι οι πιο βασικές έννοιες των Μαθηματικών και είναι τόσο θεμελιακές επειδή αντανακλούν ουσιαστικά χαρακτηριστικά του νου και του κόσμου γύρω μας. Τα Μαθηματικά αναπτύχθηκαν από συγκεκριμένες, απλές και καθολικές έννοιες και ιδιότητες του νου και του κόσμου. Επομένως, το ότι τα Μαθηματικά είναι τόσο αποτελεσματικά στο να χειρίζονται έννοιες, είναι εντελώς φυσικό. Προς τα έξω χρησιμοποιούμε τα Μαθηματικά για να κατανοήσουμε και αλλάξουμε τον κόσμο γύρω μας, ενώ προς τα μέσα ως οδηγό για τον νου μας.   

Οι Έλληνες συχνά οργάνωναν τις σκέψεις τους σε δυάδες, δηλαδή ένα ζεύγος από αντίθετες έννοιες. Οι Πυθαγόρειοι συχνά σχεδίαζαν πίνακες αντιθέτων. Μια δυάδα είναι, βασικά, στατική ομαδοποίηση εννοιών. Ο Hegel ομαδοποίησε τις έννοιες όχι σε δυάδες, αλλά σε τριάδες, οι οποίες αποτελούνται από τρεις έννοιες ταξινομημένες στο γνωστό πλαίσιο Θέση – Αντίθεση – Σύνθεση. Η τριάδα είναι, ουσιαστικά, δυναμική ομαδοποίηση και κάθε σύνθεση μπορεί να θεωρηθεί ως θέση για μια νέα αντίθεση. Όπως ο Hegel πηγαίνει ένα βήμα πέρα από τη δυάδα, ο Jung πηγαίνει ένα βήμα πέρα από τον Hegel. Για τον Jung, το βασικό πρότυπο σκέψης δεν είναι η τριάδα, αλλά η τετράδα, μια ισορροπημένη διάταξη τεσσάρων εννοιών, γνωστή ως τετραδικότητα:

Η τετραδικότητα είναι ένα αρχέτυπο με παγκόσμια ισχύ. Μορφοποιεί τη λογική βάση για οποιαδήποτε καθολική κρίση. Αν κάποιος επιθυμεί να τεκμηριώσει μια κρίση, πρέπει να έχει αυτή την τετραπλή όψη. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να περιγράψουμε τον ορίζοντα συνολικά, ονομάζουμε τα τέσσερα τέταρτα του ουρανού (τέσσερα σημεία του ορίζοντα). Υπάρχουν πάντα τέσσερα στοιχεία, τέσσερις αρχικές ποιότητες, τέσσερα βασικά χρώματα, τέσσερις τρόποι λειτουργικής ανάπτυξης κτλ. Έτσι, υπάρχουν τέσσερις τρόποι ψυχολογικού προσανατολισμού. Για να προσανατολίσουμε τους εαυτούς μας πρέπει να έχουμε μια λειτουργία που να μας βεβαιώνει ότι κάτι υπάρχει (Αίσθηση), μια δεύτερη λειτουργία που εξηγεί τι είναι αυτό (Σκέψη), μια τρίτη που δηλώνει αν μας ταιριάζει ή όχι, αν επιθυμούμε να το δεχτούμε ή όχι (Συναίσθημα) και μια τέταρτη που δείχνει από πού ήρθε και πού πηγαίνει αυτό (Διαίσθηση). Όταν συμβαίνει αυτό, δεν υπάρχει τίποτα άλλο να προσθέσουμε. Το ιδεώδες της πληρότητας είναι η σφαίρα ή ο κύκλος και η ελάχιστη φυσική της διαίρεση είναι η τετραδικότητα.

Στη συνέχεια, ο Rucker χρησιμοποιώντας τις απόψεις του Jung, εξηγεί γιατί τα Μαθηματικά αναπτύσσουν τους πέντε τρόπους, δηλαδή αριθμό, λογική, χώρο, άπειρο και πληροφορία, και πώς αυτοί οι πέντε τρόποι σχετίζονται με τις πιο πάνω λειτουργίες, όπου εδώ ως πεμπτουσία θεωρεί την πληροφορία. Κάνει, λοιπόν, την εξής αντιστοιχία με τα Μαθηματικά:

• Αίσθηση » Αριθμός. Αυτό το κάτι, στο οποίο αναφέρεται η Αίσθηση, είναι αποτέλεσμα διάκρισης και ακριβώς αυτή η δημιουργία διακρίσεων είναι που οδηγεί στον αριθμό. Ο κόσμος της Αίσθησης και του αριθμού είναι κόσμοι του διακριτού.

• Σκέψη » Λογική. Η Σκέψη καθορίζει τις αφηρημένες δομές, με τις οποίες μας τροφοδοτεί η Αίσθηση και η Διαίσθηση. Στη σκεπτική διαδικασία αναζητούμε υποκείμενα πρότυπα και τα συνδέουμε και αυτό ακριβώς είναι που οδηγεί στη λογική.

• Συναίσθημα » Χώρος. Το Συναίσθημα μας συνδέει με τα πράγματα. Επομένως, για να έχουμε συναίσθημα για κάτι και να το αξιολογήσουμε ή να δεθούμε με αυτό, πρέπει να βγούμε προς τα έξω και να βρεθούμε μέσα στο συνεχή χώρο.

• Διαίσθηση » Άπειρο. Διαίσθηση σημαίνει βαθιά αίσθηση της πραγματικότητας ως ολότητας. Θεωρώντας τον απέραντο κόσμο ως ένα όλον, οδηγείται κανείς στην έννοια του απείρου.

• Πεμπτουσία/ Πληρότητα/ Επικοινωνία » Πληροφορία. Η αντίληψη του κόσμου στηρίζεται στην ανταλλαγή πληροφορίας, στην επικοινωνία μαζί του, με όλους τους βασικούς τρόπους.

Μπορούμε να πούμε ότι η πληροφορία ενοποιεί τους τέσσερις κλάδους των Μαθηματικών. Θεωρώντας ότι τα Μαθηματικά είναι ένα σύνολο αφενός ιδεών, εννοιών, σημασιών και αφετέρου μεθόδων, κανόνων και τεχνικών, που βοηθάνε στην πρόσβαση και εξερεύνηση κόσμων (υλικού, εννοιακού, ιδεατού), στην ουσία μετασχηματίζουν ένα είδος πληροφορίας σε άλλο, δίνουν ένα εργαλείο αποκωδικοποίησης μηνυμάτων αυτών των κόσμων. Το εργαλείο αυτό συνίσταται από τους αλγόριθμους των Μαθηματικών. Επίσης, αν δούμε διαχρονικά τη βασική έννοια των Μαθηματικών, τότε παρατηρούμε ότι αυτή είναι ο αριθμός κατά το Μεσαίωνα, ο χώρος κατά την Αναγέννηση, η λογική κατά τη Βιομηχανική Επανάσταση και το άπειρο κατά τη Σύγχρονη Εποχή. Όμως, με την πρόοδο των Η/Υ, οδηγούμαστε σε μια νέα εποχή των Μαθηματικών, πέμπτη κατά σειρά, στην οποία δεσπόζουσα έννοια είναι αυτή της πληροφορίας. Τέλος, από βιολογική άποψη, το αριστερό ημισφαίριο του εγκεφάλου είναι υπεύθυνο για τους ψηφιακούς χειρισμούς, ενώ το δεξιό ημισφαίριο για τους αναλογικούς. Αυτό σημαίνει ότι το αριστερό ημισφαίριο σκέπτεται με όρους διακριτού αριθμού, ενώ το δεξιό ημισφαίριο με όρους συνεχούς χώρου.

Μέχρι τώρα σχεδιάζαμε αυτές τις τετράδες ως τις κορυφές τετραγώνου, αλλά μπορούμε να τις θεωρήσουμε, επίσης, ως τη βάση ενός τρισδιάστατου σχήματος, δηλαδή μιας τετραγωνικής πυραμίδας. Τότε, υπάρχει η κορυφή της πυραμίδας έξω από το επίπεδο των τεσσάρων στοιχείων της βάσης. Αναζητάμε μια πέμπτη έννοια, που να ταιριάζει στις ίσες αποστάσεις από τις άλλες τέσσερις έννοιες, τις οποίες ήδη έχουμε. Πρέπει να επιλέξουμε μια πέμπτη μαθηματική έννοια τόσο βασική όσο ο αριθμός, ο χώρος, η λογική και το άπειρο. Επίσης, πρέπει να υπάρχει μια αντίστοιχη πέμπτη ψυχολογική έννοια όπως η αίσθηση, το συναίσθημα, η σκέψη και η διαίσθηση. Η πέμπτη αυτή έννοια, η οποία χαρακτηρίζει καλύτερα την εποχή μας και συνδυάζεται με τις τέσσερις προηγούμενες, είναι η πληροφορία. Η μαθηματική αυτή έννοια αντιστοιχεί στην ψυχολογική έννοια της επικοινωνίας. Η πληροφορία και η επικοινωνία αποτελούν την πεμπτουσία, αντίστοιχα, των τεσσάρων μαθηματικών και ψυχολογικών εννοιών.

Πηγές Πληροφορίας

• Jung, C. G. (1957-1976). The Collected Works: A Psychological Approach to the Dogma of the Trinity. (vol. 11). Princeton Univ. Press, Princeton NJ, 20 vols.

• Rucker, R. (1982). Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Birkhauser, Boston.

• Rucker, R. (1988). Mind Tools: The Mathematics of Information. Penguin Books, ΝΥ.