- ΥΛΙΚΟ
Η Emily Grosholz (1950, Philadelphia USA) είναι συγγραφέας, εκτός των άλλων, πέντε ποιητικών βιβλίων. Είναι καθηγήτρια φιλοσοφίας στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια και μέλος της ερευνητικής ομάδας REHSEIS/ SPHERE του Πανεπιστημίου του Παρισιού Denis Diderot. Η Emily Grosholz είναι συμβουλευτική συντάκτρια για το Hudson Review για περισσότερα από είκοσι πέντε χρόνια και εντάχθηκε στη συμβουλευτική επιτροπή σύνταξης του Journal of Humanistic Mathematics πριν από δύο χρόνια. Σπούδασε μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο και φιλοσοφία στο Πανεπιστήμιο Yale, έτσι ώστε η έρευνά της επικεντρώνεται στην ιστορία και τη φιλοσοφία των Μαθηματικών. Ζει στο State College της Πενσυλβάνια. Το τρέχον έργο της σε εξέλιξη είναι τα Μαθηματικά και η Ποίηση, μια συλλογή δοκιμίων.
Emily Grosholz / Reflections on the Transfinite // Στοχασμοί για το Υπερπεπερασμένο
| Reading about the tower or great-boled tree
Of ordinals, I think how Cantor grew Wiser and more insane, trying to save His tree of Jesse from the pruning shears And kitchen gardening of Kronecker, Although I share the latter’s feeling for The natural numbers, those deceptively well Ordered, step-wise creatures, which appear Transparent as they mount, but all in all Among themselves are most unknowable.
|
Διαβάζοντας για τον πύργο ή το τεράστιο δέντρο
Των διατακτικών αριθμών, σκέφτομαι πώς ο Cantor μεγάλωσε Κι έγινε πιο σοφός και πιο τρελός, προσπαθώντας να σώσει Το δικό του δέντρο του Ιεσσαί από τα ψαλίδια κλαδέματος Και την κηπουρική του Kronecker˙ Αν και πρέπει να μοιραστώ την αίσθηση του τελευταίου Για τους φυσικούς αριθμούς, εκείνους που είναι απατηλά Καλά διαταγμένοι, διακριτά πλάσματα, που εμφανίζονται Διαφανή όσο αυξάνονται, αλλά συνολικά Μεταξύ τους είναι εντελώς ακατάληπτοι. |
| Dreaming about the cardinals at midnight,
The alephs flaming like a candelabrum, I see you in a shadowy attic-room Installed among Diogenes Laertius, Nachgelassene Schriften, commentaries On Aristotle, Plato, and the latest Fashionable fact-schredders out of Paris. So cloudy is the place you designate In the fraught hierarchies of my world That I can hardly prove you, but suppose You are not just a postulate I made.
|
Ονειρευόμενη τους πληθικούς αριθμούς τα μεσάνυχτα,
Τα αλέφ φλεγόμενα σαν κηροπήγιο, Σας βλέπω σε μια σκοτεινή σοφίτα Εγκαταστημένο μεταξύ του Διογένη Λαέρτιου, Nachgelassene Schriften, σχόλια Για τον Αριστοτέλη, τον Πλάτωνα και τους τελευταίους Μοντέρνους καταστροφείς από το Παρίσι. Τόσο συννεφιασμένο είναι το μέρος που ορίζετε Στις κατάφορτες ιεραρχίες του κόσμου μου Που δύσκολα μπορώ να σας αποδείξω, αλλά ας υποθέσω Δεν είστε απλώς ένα αίτημα που έκανα. |
| You are the great collection of desires,
Forever incomplete, unsatisfied, Toward which all finite sequences in time With little steps so trustfully aspire. Though you outrank them all, see how they run Like atomies of fire toward the sun, Sent over the abyss with no alarm To make the leap across into your arms.
|
Είστε η μεγάλη συλλογή επιθυμιών,
Για πάντα ημιτελής, ανικανοποίητη, Προς την οποία όλες οι πεπερασμένες ακολουθίες στον χρόνο Με μικρά βήματα τόσο αξιόπιστα πλησιάζουν. Αν και τους ξεπερνάτε όλους, δείτε πώς τρέχουν Σαν άτομα φωτιάς προς τον ήλιο, Σταλμένο πάνω από την άβυσσο χωρίς συναγερμό Για να κάνω το άλμα στην αγκαλιά σας. |
- ΣΧΟΛΙΑ
Ο Georg Cantor (1845-1918), Γερμανός μαθηματικός, τόλμησε για πρώτη φορά να σκεφτεί την διαισθητικά αντίθετη αντίληψη ότι δεν έχουν όλα τα άπειρα σύνολα το ίδιο μέγεθος -και μετά το απέδειξε: Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών δεν μπορεί να αντιστοιχηθεί σε ένα ζεύγος ένα προς ένα με το σύνολο των αριθμήσιμων/ μετρητών/ φυσικών αριθμών 0,1,2,3,4, . . . . Τα σύνολα των οποίων τα στοιχεία μπορούν να αντιστοιχιστούν ένα προς ένα με τους αριθμούς μέτρησης ονομάζονται αριθμήσιμα/ μετρήσιμα και το αποτέλεσμα του Cantor έδειξε ότι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών είναι αμέτρητο. Ο Κάντορ ανέπτυξε μια εκτενή θεωρία για τους υπερπεπερασμένους αριθμούς και η ποιήτρια (καθώς επίσης μαθηματικός, φιλόσοφος και καθηγήτρια) στοχάζεται πάνω σε αυτά στο ποίημα της.
Οι ανακαλύψεις του Cantor, που εκτός των Μαθηματικών αφορούν επίσης τον τομέα της φιλοσοφίας και της θρησκείας, είχαν βαθιές επιπτώσεις στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Με την εισαγωγή της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας και της Θεωρίας Ομάδων και των καινοτομιών στον Λογισμό -με το άπειρο άθροισμα και τις απειροστές ποσότητες- τα Μαθηματικά γίνονται όλο και πιο αφηρημένα και απομακρύνονται από τον φυσικό κόσμο. Για να συνεχιστεί η πορεία προς αυτή την κατεύθυνση, χρειαζόταν η ανακάλυψη νέων εργαλείων που θα βοηθήσουν όχι μόνο στην απόδειξη των θεωρημάτων, αλλά και στην επικύρωση της εγγενούς ‘αλήθειας’ τους. Η Θεωρία Συνόλων του Cantor και η ενασχόλησή του με το άπειρο προσέφεραν την απαραίτητη εργαλειοθήκη και ως εκ τούτου είχαν τους θαυμαστές και τους επικριτές τους. Το ποίημα της Emily Grosholz ‘Reflections on the Transfinite’ ρίχνει μια ματιά στα αμφιλεγόμενα συναισθήματα αυτής της αντίθεσης.
«Τα Μαθηματικά μπορεί να οριστούν ως το αντικείμενο στο οποίο δεν γνωρίζουμε ποτέ για τι μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια». Αυτή η κυνική άποψη των Μαθηματικών αποδίδεται στον Bertrand Russell (1872-1970). Η ευκαιρία του ήταν η ανακάλυψη ενός παράδοξου στη Θεωρία Συνόλων του Cantor. Μια μη μαθηματική εκδοχή αυτού του παράδοξου, γνωστού ως ‘το παράδοξο του κουρέα’, μπορεί να αποδοθεί ως εξής: Σε ένα χωριό υπάρχει μόνο ένας κουρέας ο οποίος ξυρίζει όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ποιος ξυρίζει τον κουρέα; Ξυρίζει ή δεν ξυρίζει τον εαυτό του; Αν το κάνει, δεν το κάνει και αν δεν το κάνει, το κάνει. Το παράδοξο του Russell υπονόμευσε τα θεμέλια των Μαθηματικών. Σε μια προσπάθεια να αποκαταστήσει τη ζημιά, ο Russell δημοσίευσε μια ανάλυση για αυτό το παράδοξο στο κοινό έργο του με τον Alfred North Whitehead (1861-1947), Principia Mathematica.
Αυτό το έργο προσπαθεί να ανάγει τα θεμέλια των Μαθηματικών στη Λογική. Μαζί με το έργο του Hilbert για τον φορμαλισμό, είχε σημαντική επιρροή στην προώθηση της αξιωματικής προσέγγισης των Μαθηματικών, που ήταν ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά του αντικειμένου σε όλο τον 20ο αιώνα. Αυτή η προσέγγιση αντιμετώπισε σοβαρό πλήγμα από το αποτέλεσμα του Kurt Gödel (1906-1978) που είναι γνωστό ως: Θεώρημα μη πληρότητας του Gödel. Το Θεώρημα αναφέρει ότι όλοι οι συνεπείς σχηματισμοί της Θεωρίας Αριθμών περιλαμβάνουν αναποφάσιστες προτάσεις. Επομένως, τα Μαθηματικά έχουν δηλώσεις που δεν μπορούν ούτε να αποδειχθούν ούτε να διαψευστούν. Ένα σχετικό αποτέλεσμα, που είναι μερικές φορές γνωστό ως το δεύτερο Θεώρημα μη πληρότητας του Gödel, μπορεί να διατυπωθεί στην καθομιλουμένη ως εξής: κάθε τυπικό σύστημα που είναι αρκετά ενδιαφέρον για να διατυπώσει τη δική του συνέπεια, μπορεί να αποδείξει τη συνέπειά του αν και μόνο αν είναι ασυνεπές. Συγκεκριμένα, η συνέπεια των αξιωμάτων των Μαθηματικών δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα στο σύστημα.
Έννοιες όπως το άπειρο, το υπερπεπερασμένο, τα παράδοξα, η μη πληρότητα του Godel, μαζί με άλλες, βρίσκονται στα θεμέλια των Μαθηματικών, αλλά ταυτόχρονα εμπνέουν ποιητές και μαθηματικούς. Όλα αυτά περιλαμβάνονται σε αυτό που λέγεται ‘Ποίηση που εμπνέεται από τα Μαθηματικά’ και αποτελεί μια διάσταση στη μελέτη του γενικότερου ζητήματος ‘Ποίηση και Μαθηματικά’. Φυσικά υπάρχουν και άλλα μαθηματικά θέματα που εμπνέουν τους ποιητές, αλλά και τους ίδιους τους μαθηματικούς.
