Με ποιο τρόπο μπορούν να συνδεθούν αρμονικά τα Μαθηματικά με την Ποίηση; Το βιβλίο της ποιήτριας, μαθηματικού και φιλοσόφου Emily Grosholz, Proportions of the Heart: Poems that Play with Mathematics, είναι άριστο παράδειγμα, που επιβεβαιώνει ότι υπάρχει σημείο σύγκλισης. Τα ποιήματα είναι εμπνευσμένα από τον κόσμο των Μαθηματικών, της φιλοσοφίας και της ιστορίας. Στην ποίηση της Grosholz τα Μαθηματικά, από τα fractals μέχρι την αρνητική καμπυλότητα, συναντούν, επίσης, την ιστορία, τη φιλοσοφία, αλλά και τα ανθρώπινα συναισθήματα. Το παιχνίδι της Grosholz με τα Μαθηματικά είναι σαγηνευτικό, καταφέρνει να φωτίσει υποφωτισμένες όψεις της επιστήμης και να δώσει σχήμα, με αξιοθαύμαστη ακρίβεια και κομψότητα, σε ό,τι αποκαλούμε άμορφο.

Ο μαθηματικός Edward Frenkel, μιλώντας για το βιβλίο, αναφέρεται σε στίχους που πάλλονται από πάθος και ζωή: «όπως τα σαγηνευτικά μοτίβα των fractals, τα ποιήματα αυτά θα σας κάνουν να αναλογιστείτε τις άπειρες δυνατότητες της συμμετρίας και της αρμονίας». Ανάλογη άποψη για το βιβλίο έχει και ο μαθηματικός και συγγραφέας Reuben Hersh, ο οποίος γράφει: «Τα ποιήματα της Grosholz αναφέρονται στα fractals του Benoit Mandelbrot, στη θεωρία συνόλων του Georg Cantor κ.ά. Ο τρόπος που συνδέει τα Μαθηματικά με την Ποίηση μπορεί να διδάξει πολλά, τόσο στους μαθηματικούς όσο και στους ποιητές. Η ποιητική φαντασία της Grosholz εισχωρεί, με προσοχή και ακρίβεια, σε τόσο ιδιαίτερες μαθηματικές περιοχές, όπου ο κοινός λόγος θα αδυνατούσε να πλησιάσει». Ιδού ένα παράδειγμα:

 

In Praise of Fractals
Variations on the Introduction to
‘The Fractal Geometry of Nature’ by Benoit Mandelbrot

 

Euclid’s geometry cannot describe,
nor Apollonius’, the shape of mountains,
puddles, clouds, peninsulas or trees.
Clouds are never spheres,
nor mountains cones, nor Ponderosa pines;
bark is not smooth; and where the land and sea
so variously lie about each other
and lightly kiss, is no hyperbola.

Compared with Euclid’s elementary forms,
Nature, loosening her hair, exhibits patterns
(sweetly disarrayed, afloat, uncombed)
not simply of a higher degree n
but rather of an altogether different
level of complexity:
the number of the scales of distances
describing her is almost infinite.

How shall we study the morphology
of the amorphous? Mandelbrot
solved the conundrum by inventing fractals,
a lineage of shapes
fretted by chance, whose regularities
are all statistical, like Brownian motion,
whose fine configurations
turn out to be the same at every scale.

Some fractal sets are curves
(space-filling curves!) or complex surfaces;
others are wholly disconnected ‘dusts’;
others are just too odd to have a name.
Poincaré once observed,
there may be questions that we choose to ask,
but others ask themselves,
sometimes for centuries, while no one listens.

 

Questions that ask themselves without repose
may come to rest at last in someone’s mind.
So Mandelbrot in time
designed his fractal brood to be admired
not merely for its formal elegance
as mathematical structure,
but power to interpret, curl by curl,
nature’s coiffure of molecules and mountains.

 

What gentle revolution of ideas
disjoins the nineteenth century from ours!
Cantor’s set of nested missing thirds,
Peano’s curve of fractional dimension,
Mandelbrot’s fractals, counter the old rule
of simple continuity,
domesticating what short-sightedly
was once considered monstrous.

 

Nature embraces monsters as her own,
encouraging the pensive mathematician
to find anomaly
inherent in the creatures all around us.
The masters of infinity,
Cantor, Peano, Hausdorff, and Lebesgue,
discovered sets not in the end transcendent
but immanent, Spinoza’s darling Cause.

 

Imagination shoots the breeze with Nature,
and what they speak (mathematics) as they flirt
reveals itself surprisingly effective
in science, a wrought gift
we don’t deserve or seek or understand.
So let us just be grateful,
and hope that it goes on, although our joy
is always balanced by our bafflement.

*

* *

Απόδοση στα Ελληνικά

 

Εγκώμιο στα Fractals

Παραλλαγές στην Εισαγωγή στο

«The Fractal Geometry of Nature» του Benoit Mandelbrot

 

Η Γεωμετρία του Ευκλείδη δεν μπορεί να περιγράψει,

ούτε του Απολλώνιου, το σχήμα των βουνών,

λακκούβες, σύννεφα, χερσονήσους ή δέντρα.

Τα σύννεφα ποτέ δεν είναι σφαίρες,

ούτε τα βουνά κώνοι, ούτε τα πεύκα˙

ο φλοιός δεν είναι λείος˙ και εκεί όπου η γη και η θάλασσα

τόσο διαφορετικά απλώνονται η μια προς την άλλη

και ελαφριά φιλιούνται, δεν είναι υπερβολή.

Σε σύγκριση με τα στοιχειώδη σχήματα του Ευκλείδη,

η Φύση, χαλαρώνοντας τα μαλλιά της, παρουσιάζει μοτίβα

(γλυκιά αταξία, επιπλέουσα, αχτένιστη)

όχι απλώς υψηλότερου βαθμού n

αλλά μάλλον εντελώς διαφορετικού

επιπέδου πολυπλοκότητας:

το πλήθος των αναλογιών μεταξύ των αποστάσεων

που την περιγράφουν είναι σχεδόν άπειρο.

Πώς θα μελετήσουμε τη μορφολογία

του άμορφου; Ο Mandelbrot

έλυσε το αίνιγμα με την ανακάλυψη των fractals,

μια οικογένεια από μορφές

τρελαμένες από την τυχαιότητα, οι κανονικότητές τους

είναι όλες στατιστικές, όπως η κίνηση Brown,

οι όμορφες διαμορφώσεις τους

αποδεικνύονται ίδιες σε κάθε κλίμακα.

Ορισμένα fractal σύνολα είναι καμπύλες

(καμπύλες πλήρωσης χώρου!) ή μιγαδικές επιφάνειες˙

άλλα είναι εντελώς αποκομμένες ‘σκόνες’˙

άλλα είναι πάρα πολύ παράξενα για να έχουν όνομα.

Ο Poincaré παρατήρησε κάποτε,

μπορεί να υπάρχουν ερωτήσεις που επιλέγουμε να ρωτήσουμε,

αλλά άλλοι αναρωτιούνται,

μερικές φορές για αιώνες, ενώ κανένας δεν ακούει.

 

Ερωτήσεις που ρωτούν τον εαυτό τους χωρίς ανάπαυση

μπορεί τελικά να αναπαυτούν στο μυαλό κάποιου.

Έτσι, ο Mandelbrot εγκαίρως

σχεδίασε την ομάδα των fractal του θαυμαστή

όχι μόνο για την κομψότητα της μορφής

ως μαθηματική δομή,

αλλά ως δύναμη να ερμηνεύει, σπείρα τη σπείρα,

το χτένισμα της Φύσης από μόρια και βουνά.

 

Τι ευγενής επανάσταση των ιδεών

διαχωρίζει τον δέκατο ένατο αιώνα από τον δικό μας!

Το σύνολο του Cantor από φωλιασμένα απόντα τρίτα,

η καμπύλη του Peano κλασματικής διάστασης,

τα fractals του Mandelbrot, αντιτίθενται στον παλιό κανόνα

της απλής συνέχειας,

εξημερώνοντας αυτό που κοντόφθαλμα

κάποτε θεωρήθηκε τερατώδες.

 

Η Φύση αγκαλιάζει τα τέρατα ως δικά της,

ενθαρρύνοντας τον σκεπτόμενο μαθηματικό

να βρει ανωμαλία

εγγενή στα πλάσματα γύρω μας.

Οι κύριοι του άπειρου,

Cantor, Peano, Hausdorff και Lebesque,

ανακάλυψαν σύνολα τελικά όχι υπερβατικά

αλλά έμφυτα, αγαπημένη Αιτία του Spinoza.

 

Η φαντασία πυροβολεί το αεράκι με τη Φύση,

και αυτό που λένε (Μαθηματικά) καθώς φλερτάρουν

αποκαλύπτεται εκπληκτικά αποτελεσματικό

στην επιστήμη, ένα δουλεμένο δώρο

που δεν αξίζουμε ή αναζητούμε ή καταλαβαίνουμε.

Ας είμαστε λοιπόν ευγνώμονες,

και να ελπίζουμε ότι θα συνεχιστεί, αν και η χαρά μας

πάντα εξισορροπείται από τη σύγχυσή μας.

Λίγα Πραγματολογικά Στοιχεία

 

Γεωμετρία του Ευκλείδη

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία, που διδασκόμαστε στο σχολείο, βρίσκεται εν πολλοίς πέρα από τις έννοιες του πλαισίου που λέμε πραγματικότητα και στο οποίο ζούμε. Παρουσιάζει στοιχεία και σχήματα που δεν συναντάμε και τα οποία είναι εξιδανικευμένα. Για τον λόγο αυτό η ποιήτρια ισχυρίζεται δικαίως ότι δεν μπορεί να περιγράψει τους φυσικούς σχηματισμούς και χρειάζεται μια άλλη Γεωμετρία, αυτή του Mandelbrot και των λεγόμενων fractals. Βέβαια υπάρχουν και οι Μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες, αλλά σε διαφορετική κατεύθυνση. Πάντως, διάφορα παράδοξα, τα οποία η Ευκλείδεια Γεωμετρία αδυνατεί να εξηγήσει, αντιμετωπίζονται με τα fractals.

 

Απολλώνιος

Απολλώνιος ο Περγαίος υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους Έλληνες μαθηματικούς – γεωμέτρες και αστρονόμους της αλεξανδρινής εποχής. Κινείται και αυτός βέβαια στο πλαίσιο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και γι’ αυτό η ποιήτρια τον αναφέρει μαζί με τον Ευκλείδη.

 

Υπερβολή (Μαθηματικά)

Στη Γεωμετρία με τον όρο υπερβολή χαρακτηρίζεται μια καμπύλη που ορίζεται ως γεωμετρικός τόπος των σημείων επιπέδου, που πληρούν συγκεκριμένη συνθήκη.

Η ποιήτρια πάλι λέει ότι το Ευκλείδειο αυτό σχήμα δεν μπορεί να αναπαραστήσει τη φυσική εικόνα όπου ‘η θάλασσα κοιμάται μες της γης την αγκαλιά’ (Σολωμός – Γαλήνη).

 

Γλυκιά αταξία, επιπλέουσα, αχτένιστη

Ονόματα για διάφορα μοτίβα στη φύση και στα αντίστοιχα fractals.

 

Mandelbrot

Ο μαθηματικός Benoit Mandelbrot ο οποίος έγινε περισσότερο γνωστός από την ενασχόληση του με την «τέχνη της τραχύτητας» -όπως ο ίδιος την αποκάλεσε- των φυσικών φαινομένων και των «ακανόνιστων στοιχείων». Ο Γαλλοαμερικανός μαθηματικός, θεωρείται «πατέρας» της μορφοκλασματικής Γεωμετρίας ή Γεωμετρίας των fractal, όρο που καθιέρωσε ο ίδιος για να περιγράψει μια κατηγορία μαθηματικών αντικειμένων με ακανόνιστα περιγράμματα, τα οποία μιμούνται τα ακανόνιστα σχήματα που απαντώνται στη φύση.

Fractals

Με τον διεθνή όρο fractal, ελληνικά μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο, ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται ως “απείρως περίπλοκο”. Το fractal περιέχει λεπτομερή δομή σε αυθαίρετα μικρές κλίμακες, συνήθως έχοντας μια κλασματική διάσταση που υπερβαίνει αυστηρά τη συνήθη τοπολογική διάσταση. Ο όρος fractal επινοήθηκε από τον Mandelbrot το 1975. Ο Mandelbrot το στήριξε στο λατινικό frāctus, που σημαίνει «σπασμένος» ή «κλασματικός» και το χρησιμοποίησε για να επεκτείνει την έννοια των θεωρητικών κλασματικών διαστάσεων σε γεωμετρικά μοτίβα στη φύση.

 

Κίνηση Brown

Τόσο στη Φυσική όσο και περισσότερο στη Χημεία, κίνηση Μπράουν καλείται η τυχαία κίνηση σωματιδίων μέσα σε υγρό ή αέριο. Με τη βοήθεια του μικροσκοπίου διαπιστώνεται ότι τα μικροσκοπικά στερεά σωματίδια, που περιέχονται σε ένα υγρό ή αέριο, εκτελούν τυχαίες κινήσεις.

Καμπύλες πλήρωσης χώρου/ Peano

Υπάρχουν καμπύλες που γεμίζουν το επίπεδο χωρίς τρύπες/ κενά. Επίσης, μπορεί να αποδειχθεί ότι οποιαδήποτε τέτοια καμπύλη πρέπει να είναι αυτοτεμνόμενη. Η πρώτη τέτοια καμπύλη ανακαλύφθηκε από τον Guiseppe Peano το 1890 και ακολούθησαν και άλλες. Ο Mandelbrot ονομάζοντάς τες ‘Peano Monster Curves’, συγκέντρωσε και μια σειρά από παραθέματα προς υποστήριξη αυτής της ορολογίας.

 

Poincaré

Ο Poincaré (Πουανκαρέ) ήταν ένας από τους κορυφαίους Γάλλους μαθηματικούς και θεωρητικούς φυσικούς, καθώς και φιλόσοφος της επιστήμης. Γεννήθηκε το 1854 στην πόλη Νανσύ της Γαλλίας και πέθανε το 1912 στο Παρίσι.

Σύνολο του Cantor από φωλιασμένα απόντα τρίτα

Πάρτε ένα τμήμα γραμμής. Αφαιρέστε το μεσαίο τρίτο του τμήματος. Στη συνέχεια αφαιρέστε τα μεσαία τρίτα και των δύο τμημάτων. Εάν αφαιρείτε τα μεσαία τρίτα διαρκώς, έχετε το σύνολο Cantor.

 

 

‘Σκόνες’ (Cantor)

Το Cantor dust είναι μια πολυδιάστατη έκδοση του συνόλου Cantor. Μπορεί να σχηματιστεί εφαρμόζοντας μια τεχνική στο σύνολο αυτό. Όπως το σύνολο Cantor, η σκόνη Cantor έχει μηδενικό μέτρο.

 

Κύριοι του άπειρου, Cantor, Peano, Hausdorff και Lebesque

Διάσημοι μαθηματικοί οι οποίοι ασχολήθηκαν με την έννοια του απείρου.