- Υλικό
Η Sarah Glaz (γεννήθηκε το 1947 στο Βουκουρέστι) είναι μαθηματικός και ποιήτρια. Η ερευνητική της ειδικότητα είναι η Άλγεβρα. Είναι καθηγήτρια Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Κονέκτικατ. Έχει τεράστιο έργο που αφορά στη θεωρία και την πρακτική του θέματος ‘Ποίηση και Μαθηματικά’. Σε συνεργασία με την επίσης μαθηματικό και ποιήτρια Joanne Growney έχουν εκδώσει την ανθολογία Strange Attractors: Poems of Love and Mathematics.
Sarah Glaz
The Enigmatic Number e
It ambushed Napier,
like a swashbuckling pirate
leaping from the base.
He felt its power,
but never realized its nature.
e’s first appearance in disguise—a tabular array
of values of ln, was logged in an appendix
to Napier’s posthumous publication.
Oughtred, inventor of the circular slide rule,
still ignorant of e’s true role,
performed the calculations.
A hundred thirteen years the hit and run goes on.
There and not there—elusive e,
escape artist and trickster,
weaves in and out of minds and computations:
Saint-Vincent caught a glimpse of it under rectangular hyperbolas;
Huygens mistook its rising trace for logarithmic curve;
Nicolaus Mercator described its log as natural
without accounting for its base;
Jacob Bernoulli, compounding interest continuously,
came close, yet failed to recognize its face;
and Leibniz grasped it hiding in the maze of calculus,
natural basis for comprehending change—but
misidentified as b.
The name was first recorded in a letter
Euler sent Goldbach in November 1731:
“e denontat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est=1.”
Since a was taken, and Euler
was partial to vowels,
e rushed to make a claim —the next in line.
We sometimes call e Euler’s Number: he knew
e in its infancy as 2.718281828459045235.
On Wednesday, 6th of May, 2009,
e revealed itself to Kondo and Pagliarulo,
digit by digit, to 200,000,000,000 decimal places.
It found a new digital game to play.
In retrospect, following Euler’s naming,
e lifted its black mask and showed its limit:
Bernoulli’s compounded interest for an investment of one.
Its reciprocal gave Bernoulli many trials,
from gambling at the slot machines to deranged parties
where nameless gentlemen check hats with butlers at the door,
and when they leave, e’s reciprocal hands each a stranger’s hat.
In gratitude to Euler, e showed a serious side,
infinite sum representation:
Sarah Glaz
Ο Αινιγματικός Αριθμός e
Έστησε ενέδρα στον Napier,
σαν κουρελιασμένος πειρατής
πηδώντας από το κρηπίδωμα.
Αυτός ένιωσε τη δύναμή του,
αλλά ποτέ δεν συνειδητοποίησε τη φύση του.
Η πρώτη εμφάνιση του e σε μεταμφίεση —ένας πίνακας
των τιμών του ln, καταγράφηκε σε ένα παράρτημα
στη μεταθανάτια δημοσίευση του Napier.
Ο Oughtred, εφευρέτης του κανόνα της κυκλικής διαφάνειας,
αγνοώντας ακόμα τον αληθινό ρόλο του e,
έκανε τους υπολογισμούς.
Εκατόν δεκατρία χρόνια το hit and run συνεχίζεται.
Εκεί και όχι εκεί —άπιαστο e,
καλλιτέχνης της διαφυγής και απατεώνας,
υφαίνει μέσα και έξω από τον νου και τους υπολογισμούς:
Ο Saint-Vincent έριξε μια ματιά κάτω από ορθογώνιες υπερβολές.
Ο Huygens μπέρδεψε το ανοδικό του ίχνος ως λογαριθμική καμπύλη.
Ο Nicolaus Mercator περιέγραψε τον λογάριθμό του ως φυσικό
χωρίς να υπολογίζεται η βάση του.
Ο Jacob Bernoulli, μετρώντας συνεχώς τόκους,
πλησίασε, αλλά δεν κατάφερε να αναγνωρίσει το πρόσωπό του.
Και ο Λάιμπνιτς το έπιασε κρυμμένος στον λαβύρινθο του Λογισμού,
φυσική βάση για την κατανόηση της αλλαγής —αλλά
εσφαλμένη ταυτοποίηση ως b.
Το όνομα καταγράφηκε για πρώτη φορά σε μια επιστολή
ο Euler έστειλε στον Goldbach τον Νοέμβριο του 1731:
“e denontat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est=1”.
Δεδομένου ότι το a είχε ληφθεί ήδη, και ο Euler
ήταν μονομερής με τα φωνήεντα,
το e έσπευσε να διεκδικήσει —το επόμενο στη σειρά.
Μερικές φορές αποκαλούμε το e Αριθμό του Euler: ήξερε
το e στα σπάργανα ως 2,718281828459045235.
Την Τετάρτη 6 Μαΐου 2009,
Το e αποκαλύφθηκε στους Kondo και Pagliarulo,
ψηφίο προς ψηφίο, έως 200.000.000.000 δεκαδικά ψηφία.
Βρήκε ένα νέο ψηφιακό παιχνίδι για να παίξει.
Εκ των υστέρων, μετά την ονομασία του Euler,
το e σήκωσε τη μαύρη μάσκα του και έδειξε το όριό του:
Το αυξημένο ενδιαφέρον του Bernoulli για μια επένδυση του ενός.
Η αντίστροφή του έδωσε στον Bernoulli πολλές δοκιμές,
από τον τζόγο στους κουλοχέρηδες μέχρι τα διαταραγμένα πάρτι
όπου ανώνυμοι κύριοι τσεκάρουν καπέλα με μπάτλερ στην πόρτα,
και όταν φεύγουν, το αντίστροφο e δίνει στα χέρια καθενός ένα καπέλο ξένου.
Σε ευγνωμοσύνη προς τον Euler, το e έδειξε μια σοβαρή πλευρά,
αναπαράσταση άπειρου αθροίσματος:
- Σχόλια
(i) Το ποίημα ‘The Enigmatic Number e’ είναι μέρος μιας ευρύτερης εργασίας της Glaz με γενικό τίτλο: A History in Verse and Its Uses in the Mathematics Classroom. Στο συγκεκριμένο ποίημα αναφέρονται ονόματα που διαμόρφωσαν την ιστορία του e:
Jacob Bernoulli, Leonard Euler, Christian Goldbach, Christian Huygens, Gottfried Leibniz, Nicolaus Mercator, John Napier, William Oughtred, Gregorius Saint-Vincent. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί εύκολα σήμερα να βρει τις σχετικές πληροφορίες.
(ii) Σε αυτό το άρθρο παρουσιάζουμε μια ιστορία του αριθμού e σε στίχο. Μπορούσε να υπάρξει σχολιασμός που να αποτελείται από υπερσυνδέσμους που οδηγούν σε βιογραφίες των μαθηματικών που εμφανίζονται στο ποίημα και σε επεξηγήσεις των μαθηματικών εννοιών και ιδεών που παρουσιάζονται στο ποίημα. Η πρόθεση είναι να γιορτάσουμε την ιστορία αυτού του σεβάσμιου αριθμού σε στίχους και να βάλουμε τις μαθηματικές ιδέες που συνδέονται με αυτό σε ιστορικό και καλλιτεχνικό πλαίσιο, κυρίως όμως να δείξουμε μια ακόμα πλευρά της μαθηματικής ποίησης. Το ποίημα μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί από εκπαιδευτικούς σε οποιοδήποτε μάθημα Μαθηματικών στο οποίο εμφανίζεται ο αριθμός e, και αυτά είναι τόσο ποικίλα όσο η πολύπλευρη ιστορία του e.
(iii) Ο αριθμός e είναι σημαντική μαθηματική σταθερά, η οποία αποτελεί τη βάση του φυσικού λογαρίθμου. Είναι περίπου ίση με 2,71828 και είναι το όριο της ακολουθίας (1 + 1/n)n όσο το n πλησιάζει το άπειρο, μια έκφραση που προκύπτει από τη μελέτη των σύνθετων τόκων. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί ως το άθροισμα άπειρης σειράς.
Αποκαλείται μερικές φορές ως αριθμός Όιλερ από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ. Ο αριθμός e είναι επίσης γνωστός ως σταθερά του Νέιπιερ, αλλά η επιλογή του Όιλερ του συμβόλου e λέγεται ότι έχει διατηρηθεί προς τιμήν του. Ο e ανακαλύφθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Γιακόμπ Μπερνούλι όταν μελετούσε σύνθετους τόκους. Ο αριθμός e είναι εξέχουσας σημασίας στα Μαθηματικά και παίζει σημαντικό και επαναλαμβανόμενο ρόλο. Όπως και η σταθερά π, το e είναι άρρητος, και υπερβατικός.
(iv) Η μαθηματική εκπαίδευση καθενός ακολουθεί τον δρόμο που ακολούθησαν οι πρόγονοί μας. Ξεκινά με το μέτρημα σε παιδικές ρίμες —μαθαίνουμε για τους αριθμούς παίζοντας με ομοιοκαταληξίες. Πίσω από το παιχνίδι κρύβεται μια σοβαρή πρόθεση: να διδαχθεί η μέτρηση χρησιμοποιώντας τη δύναμη της ποίησης για να προσελκύσει την προσοχή των μαθητών και να ενισχύσει τη διατήρηση των αφηρημένων εννοιών. Η Ποίηση εμπνευσμένη από τα Μαθηματικά μπορεί να εμφανίζεται στην τάξη των Μαθηματικών διαχρονικά και σε όλα τα μαθηματικά επίπεδα. Η φύση και η συχνότητα της χρήσης της ως εργαλείου για τη διδασκαλία των Μαθηματικών κυμαίνεται ώστε να αντικατοπτρίζει τις τεχνολογικές εξελίξεις και τις μεταβαλλόμενες στάσεις για την εκπαίδευση στα Μαθηματικά. Αλλά ανεξάρτητα από τους συγκεκριμένους λόγους για την ένταξη ενός μαθηματικού ποιήματος σε μια τάξη, η δύναμη της Ποίησης να προσελκύει την προσοχή και να ενισχύει τη μνήμη είναι πάντα μια υποκείμενη παρουσία.
Ορισμένοι αρχαίοι πολιτισμοί, μετέδωσαν τις περισσότερες μαθηματικές γνώσεις σε στίχους. Σήμερα, η Ποίηση εμπνευσμένη από τα Μαθηματικά μπορεί να χρησιμοποιείται για να διαμορφώσει το περιεχόμενο των μαθημάτων εστιάζοντας την προσοχή σε μια συγκεκριμένη πτυχή της ύλης που διδάσκεται στην τάξη και λειτουργώντας ως εφαλτήριο για την έναρξη συζητήσεων, εργασιών ή έργων σε όλη την τάξη ή μικρές ομάδες με βάση το περιεχόμενο του ποιήματος. Η συνετή επιλογή ποιημάτων και η προσεκτική κατασκευή του έργου συχνά καταλήγουν σε πρόσθετα παιδαγωγικά οφέλη, όπως καλύτερη ενσωμάτωση του υλικού και ευκολότερη μετάβαση στις εφαρμογές του. Ένα διαφορετικό είδος ποιητικής εργασίας, με παρόμοιους στόχους και αποτελέσματα, απαιτεί από τους μαθητές να συνθέσουν τα δικά τους ποιήματα για μαθηματικές τεχνικές ή έννοιες.
Η εκπαιδευτική πρωτοβουλία/ καινοτομία κάποιων «γραφή σε όλο το Πρόγραμμα Σπουδών» δημιούργησε μια σειρά από πρόσφατα παιδαγωγικά πειράματα με τη συγγραφή Ποίησης στα μαθήματα Μαθηματικών. Παραδείγματα χρήσης ποιητικών έργων σε μαθήματα Μαθηματικών, μια έρευνα των προσπαθειών που κατέβαλαν οι εκπαιδευτικοί προς αυτή την κατεύθυνση και μια εκτενή βιβλιογραφία, μπορείτε να βρείτε στο βιβλίο μου Τα Μαθηματικά στην Ποίηση. Τα ποιήματα που εμφανίζονται σε αυτό το βιβλίο μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην τάξη των Μαθηματικών για την ενίσχυση της παιδαγωγικής ή του περιεχομένου των μαθημάτων. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τον εμπλουτισμό των μαθημάτων ιστορίας των Μαθηματικών και μαθημάτων που εστιάζουν στις συνδέσεις μεταξύ των Μαθηματικών και των τεχνών. Πάνω από όλα, ελπίζω ότι τα ποιήματα που παρουσιάζονται εμπνέουν μαθηματικούς και εκπαιδευτικούς να γράψουν τα δικά τους μαθηματικά ποιήματα και να πειραματιστούν με καινοτόμες χρήσεις της Ποίησης στα Μαθηματικά.
(v) Η λατινική φράση του ποιήματος “e denontat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est=1”, σημαίνει “το e δηλώνει εδώ τον αριθμό του οποίου ο υπερβολικός λογάριθμος είναι=1”.
