- ΥΛΙΚΟ
Ο Dr. Lawrence (Larry) M. Lesser, είναι καθηγητής στο τμήμα Μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Texas at El Paso και στο Armstrong State University. Ασχολείται με τη Στατιστική και τη μαθηματική εκπαίδευση. Στοχεύει στο να κάνει τη διδασκαλία των Μαθηματικών λιγότερο μονότονη.
Τα τραγούδια στην τάξη των Μαθηματικών μπορεί να είναι διασκεδαστικά και λειτουργικά, μπορούν να παρέχουν κίνητρα και μνημονoτεχνικούς κανόνες. Μαθητές και δάσκαλοι με ελάχιστη μουσική κατάρτιση μπορούν να εμπλουτίσουν τις συνδέσεις τους με τα Μαθηματικά χρησιμοποιώντας υπάρχοντα τραγούδια, γράφοντας νέα ή γράφοντας νέους στίχους για υπάρχουσες μελωδίες.
Παρακάτω είναι οι στίχοι, το ‘Hotel Infinity’, από τον ‘Μαθη-μουσικό’ Lawrence (Larry) Mark Lesser, που παρέχει ένα χιουμοριστικό τρόπο κατανόησης κάποιων ιδιοτήτων των μετρήσιμων άπειρων που ανακαλύφθηκαν από τον Cantor –δημοσιεύτηκε το 2001.
Lawrence (Larry) Mark Lesser / Hotel Infinity
Ξενοδοχείο το Άπειρο
(Τραγουδιέται στον σκοπό των Eagles ‘Hotel California’, 1976)
| On a dark desert highway—not much scenery
Except this long hotel stretchin’ far as I could see. Neon sign in front read ‘‘No Vacancy,’’ But it was late and I was tired, so I went inside to plea.
|
Σε ένα σκοτεινό έρημο αυτοκινητόδρομο -όχι πολύ γραφικό
Εκτός από αυτό το μακρύ ξενοδοχείο απλωμένο όσο μπορούσα να δω. Στην επιγραφή νέον μπροστά διάβασα ‘Δεν υπάρχουν δωμάτια’, Αλλά ήταν αργά και ήμουν κουρασμένος, έτσι πήγα μέσα να ζητήσω. |
| The clerk said, ‘‘No problem. Here’s what can be done—
We’ll move those in a room to the next higher one. That will free up the first room and that’s where you can stay.’’ I tried understanding that as I heard him say: |
Ο υπάλληλος είπε: «Δεν υπάρχει πρόβλημα. Να τι μπορεί να γίνει –
Θα τους μεταφέρουμε από το ένα δωμάτιο στο αμέσως επόμενο. Αυτό θα απελευθερώσει το πρώτο δωμάτιο και εκεί μπορείτε να μείνετε». Προσπάθησα να το καταλάβω καθώς τον άκουσα να λέει: |
| CHORUS: ‘‘Welcome to the HOTEL called INFINITY—
Where every room is full (every room is full) Yet there’s room for more. Yeah, plenty of room at the HOTEL called INFINITY— Move ‘em down the floor (move’ em down the floor) To make room for more.’’
|
ΧΟΡΟΣ: «Καλώς ήλθατε στο ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ το ΆΠΕΙΡΟ-
Όπου κάθε δωμάτιο είναι γεμάτο (κάθε δωμάτιο είναι γεμάτο) Ωστόσο, υπάρχουν περιθώρια για περισσότερα. Ναι, άφθονα δωμάτια στο ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ το ΆΠΕΙΡΟ- Μετακινήστε τα προς τα κάτω (μετακινήστε τα προς τα κάτω) Για να κάνετε χώρο για περισσότερα». |
| I’d just gotten settled, I’d finally unpacked
When I saw 8 more cars pull into the back. I had to move to room 9; others moved up 8 rooms as well. Never more will I confuse a Hilton with a Hilbert Hotel!
|
Είχα μόλις εγκατασταθεί, τελικά ξεπακετάριζα
Όταν είδα άλλα 8 αυτοκίνητα να σταθμεύουν πίσω. Έπρεπε να μετακομίσω στο δωμάτιο 9˙ άλλοι μετακινήθηκαν μέχρι και 8 δωμάτια. Ποτέ πια δεν θα μπερδέψω ένα Hilton με ένα ξενοδοχείο Hilbert! |
| My mind got more twisted when I saw a bus without end
With an infinite number of riders coming up to check in. ‘‘Relax,’’ said the nightman. ‘‘Here’s what we’ll do: Move to the double of your room number: That frees the odd-numbered rooms.’’
|
Το μυαλό μου πήρε στροφές όταν είδα ένα λεωφορείο χωρίς τέλος
Με άπειρο αριθμό επιβατών να έρχονται για να κάνουν check in. «Χαλαρώστε», δήλωσε ο νυχτερινός. «Να τι θα κάνουμε: Μετακινηθείτε στο διπλάσιο του αριθμού δωματίου σας: Αυτό ελευθερώνει τα μονά δωμάτια». |
| (Repeat Chorus)
|
(Επαναλάβατε τον χορό) |
| Last thing I remember at the end of my stay—
It was time to pay the bill but I had no means to pay. The man in 19 smiled, ‘‘Your bill is on me. 20 pays mine, and so on, so you get yours for free!’’
|
Το τελευταίο πράγμα που θυμάμαι στο τέλος της παραμονής μου –
Ήρθε η ώρα να πληρώσω τον λογαριασμό, αλλά δεν είχα κανένα τρόπο. Ο άντρας του 19 χαμογέλασε, «ο λογαριασμός σας είναι δικός μου. Το 20 πληρώνει τον δικό μου, και ούτω καθεξής, έτσι ο δικός σας είναι δωρεάν!». |
- ΣΧΟΛΙΑ
Οι προσπάθειες να οργανωθεί η έννοια του άπειρου μαθηματικά εμφανίζονται ήδη από το 100 π.Χ. στην ινδική θρησκευτική λογοτεχνία. Αλλά, μέχρι το τέλος του 19ου αιώνα, τέτοιες προσπάθειες δεν κατάφεραν να αναπαραστήσουν το άπειρο με επαρκή μαθηματική αυστηρότητα για να επιτρέψουν βαθύτερη κατανόηση και ικανότητα να χειριστούν την έννοια μαθηματικά. Ένας άνθρωπος, ο Georg Cantor (1845-1918), είναι υπεύθυνος τόσο για την αυστηρή μαθηματική αναπαράσταση του άπειρου όσο και για την ανάπτυξη της Θεωρίας Συνόλων -της ‘γλώσσας’ που επέτρεψε στους μαθηματικούς να δουλέψουν με την έννοια του άπειρου.
Οι ανακαλύψεις του Cantor, που αφορούν επίσης τον τομέα της φιλοσοφίας και της θρησκείας, είχαν βαθιές επιπτώσεις στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Με την εισαγωγή της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας και της Θεωρίας Ομάδων και των καινοτομιών στον Λογισμό -με το άπειρο άθροισμα και τις απειροστές ποσότητες- τα Μαθηματικά γίνονται όλο και πιο αφηρημένα και απομακρύνονται από τον φυσικό κόσμο. Για να συνεχιστεί η πορεία προς αυτή την κατεύθυνση, χρειαζόταν η ανακάλυψη νέων εργαλείων που θα βοηθήσουν όχι μόνο στην απόδειξη των θεωρημάτων, αλλά και στην επικύρωση της εγγενούς ‘αλήθειας’ τους. Η Θεωρία Συνόλων του Cantor και η ενασχόλησή του με το άπειρο προσέφεραν την απαραίτητη εργαλειοθήκη και ως εκ τούτου είχαν τους θαυμαστές και τους επικριτές τους.
«Τα Μαθηματικά μπορεί να οριστούν ως το αντικείμενο στο οποίο δεν γνωρίζουμε ποτέ για τι μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια». Αυτή η κυνική άποψη των Μαθηματικών αποδίδεται στον Bertrand Russell (1872-1970). Η ευκαιρία του ήταν η ανακάλυψη ενός παράδοξου στη Θεωρία Συνόλων του Cantor. Μια μη μαθηματική εκδοχή αυτού του παράδοξου, γνωστού ως ‘το παράδοξο του κουρέα’, μπορεί να αποδοθεί ως εξής: Σε ένα χωριό υπάρχει μόνο ένας κουρέας ο οποίος ξυρίζει όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ποιος ξυρίζει τον κουρέα; Ξυρίζει ή δεν ξυρίζει τον εαυτό του; Αν το κάνει, δεν το κάνει και αν δεν το κάνει, το κάνει. Το παράδοξο του Russell υπονόμευσε τα θεμέλια των Μαθηματικών. Σε μια προσπάθεια να αποκαταστήσει τη ζημιά, ο Russell δημοσίευσε μια ανάλυση για αυτό το παράδοξο στο κοινό έργο του με τον Alfred North Whitehead (1861-1947), Principia Mathematica.
Αυτό το έργο προσπαθεί να ανάγει τα θεμέλια των Μαθηματικών στη Λογική. Μαζί με το έργο του Hilbert για τον φορμαλισμό, είχε σημαντική επιρροή στην προώθηση της αξιωματικής προσέγγισης των Μαθηματικών, που ήταν ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά του αντικειμένου σε όλο τον 20ο αιώνα. Αυτή η προσέγγιση αντιμετώπισε σοβαρό πλήγμα από το αποτέλεσμα του Kurt Gödel (1906-1978) που είναι γνωστό ως: ‘Θεώρημα μη πληρότητας του Gödel’. Το Θεώρημα αναφέρει ότι όλοι οι συνεπείς σχηματισμοί της Θεωρίας Αριθμών περιλαμβάνουν αναποφάσιστες προτάσεις. Επομένως, τα Μαθηματικά έχουν δηλώσεις που δεν μπορούν ούτε να αποδειχθούν ούτε να διαψευστούν. Ένα σχετικό αποτέλεσμα, που είναι μερικές φορές γνωστό ως το ‘Δεύτερο Θεώρημα μη πληρότητας του Gödel’, μπορεί να διατυπωθεί στην καθομιλουμένη ως εξής: κάθε τυπικό σύστημα που είναι αρκετά ενδιαφέρον για να διατυπώσει τη δική του συνέπεια, μπορεί να αποδείξει τη συνέπειά του αν και μόνο αν είναι ασυνεπές. Συγκεκριμένα, η συνέπεια των αξιωμάτων των Μαθηματικών δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα στο σύστημα.
Το 1924, ο Γερμανός μαθηματικός David Hilbert εισήγαγε ένα νοητικό πείραμα που αναδεικνύει τις παράδοξες ιδιότητες του απείρου, καθιστώντας φανερό το πόσο δύσκολο είναι για τον πεπερασμένων δυνατοτήτων νου των ανθρώπων να συλλάβει την έννοια του απείρου. Φανταστείτε ένα ξενοδοχείο με άπειρο αριθμό δωματίων και με απεριόριστο αριθμό επισκεπτών. Τι θα συμβεί εάν ένα επιπλέον άτομο αναζητήσει ένα μέρος για να μείνει στο ξενοδοχείο ή αν εμφανιστεί ξαφνικά ένας άπειρος αριθμός ανθρώπων; Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης ας αναζητήσει το ‘Ξενοδοχείο το Άπειρο’ ή το ‘Ξενοδοχείο Hilbert’. Όπως λέει και ο ποιητής: Ποτέ πια δεν θα μπερδέψω ένα Hilton με ένα ξενοδοχείο Hilbert!
